大学の物理って難しいよね！
ずいぶん昔のことだけど、大学に入って「物理学Ⅰ」という名の力学の講義を取ることになった。「Ⅰ」っていうくらいだから、物理学の最も基本という位置づけで、内容も一番簡単なはず。しかも必修科目だった。
僕は典型的な理系なので、物理とか数学とか得意な方でって言うか、高校では勉強が必要なかったくらい得意だった。だから、意気揚々と受講したんだけど、いきなり撃沈した。さっぱり理解できなかった。ヘンテコな解析力学の導入を視野に入れた内容だったので、ちょっと難しいというものあったのだろう。でも微分方程式がわからなくて、いろいろ納得できなかった。だから、僕はその年の単位の取得を諦めた。理解できないのに単位だけもらってしょうがないからね。
次の年も受講登録はしたけれど、微分方程式が解けなくて落第した。３年目で落第すると留年してしまうので、信念を曲げて納得のいかない答案を提出し、単位をもらった。屈辱だ。
というような経緯で単位の取れなかった科目はほかにもたくさんある。たいていは必修科目ではないので、単位を取らずに済ませたが、一部については涙を呑んで合格だけをもらった。
単位が取れ（ら）なかったのは、おおむね微分方程式に絡む科目だ。量子力学とかは必修科目ではないのでガン無視した。数学の微分方程式の科目もダメだった。幸い、それは別の科目で補填できた。僕にとって、微分方程式は鬼門と言えた。
微分方程式の解き方に関する話は、今では完全解決していて、一連のテキストを作成済みだ。学生時代に解決できなかったのは、それを教えていた教員の怠慢以外の何物でないと僕は思っている。というか、微分方程式の解法をちゃんと教えている人なんてほとんどいないと思うよ。
微分方程式の解き方の話はさておいて、本題は物理において微分方程式が頻出し、微分方程式を避けて通れないのはなぜか？という話だ。微分方程式なかりせば、理系学生の心はのどかけらまし。憎き微分方程式を駆逐することはできないのだろうか？
ネーターの定理
物理学の最先端では「大統一理論」が幅を利かしている。その大部分を占める「標準模型」はほぼ正しいことが示されており、物理学界隈は戦勝ムードにある。大統一理論や標準模型で重視されるのは「超対称性」という概念だ。こうした研究では、我々の住むこの「宇宙」に存在する「超対称性」を理解することがセントラルドグマ（中心教義）となっている。その超対称性がSU(5)というものらしい、というのが標準模型と呼ばれるものだ。何の話がさっぱり分からない。
宇宙の対称性と物理がどうして結びつくのかわからない。僕らが知っている物理の法則の多くは微分とか積分とかで記述される。先ほどの力学然り、電磁気学はベクトル解析記号を使ってエレガントに記述される。だから、微分方程式に苦労した僕は、学生時分は落ちこぼれだった。微分方程式ではなくて対称性の話だったらそんなに苦労しなかったかも？と思わずにはいられない。
しかしながら、そうは問屋が卸さない。２０世紀初頭に活躍した女性数学者のエミー・ネーターは、1915年に「ネーターの定理」と呼ばれる有名な定理を発表した。それは対称操作と保存量の間に１対１の対応関係が存在することを保証するものだ。これは僕らが知る物理学の法則に様々な保存量が登場することの必然性を説明する。例えば、エネルギー保存則は、宇宙が持つ「時間並進対称性」を反映しており、時間並進対称性からエネルギー保存を導くことができる。時間並進対称性というのは、「いつ」実験しても同じ実験をしたら同じ結果が得られる、というずいぶん当たり前に思えることだ。難しい言葉では「再現性」として言及される。これを否定すると科学全体が成り立たない。そういう「当たり前」っぽい概念から直ちにエネルギー保存則が導かれるというのだ。
一方、「どこで」実験しても結果は変わらないというのは「空間並進対称性」であり、ここから運動量保存則が導かれる。また、どっちの方向を向いても実験結果が変わらないというのは「方位対称性」で角運動量保存則が導かれる。
こうした宇宙の対称性は、僕らが物理学でよく知る様々な保存則より根源的なものと考えることができる。保存則は一つ一つ個別に見つけて証明していく必要があるけど、宇宙の対称性は、それがわかりさえすればすべてを網羅的に調べつくすことができる。その点で、宇宙の対称性を明らかにする方が効率的だ。
現在の最有力候補であるSU(5)には一体どれだけの対称操作があるかは僕にはわからないけど、数学者ならすべての対称操作をあげつらうことができるだろう。それを専門とする物理学者ならそれらの対称操作の一つ一つから保存則を導き出せるだろう。だから、標準模型は超対称性の文脈で語られることが多い。
保存則の意味
保存則とは、「特定のパラメータを変更して変化しない量」という意味である。エネルギー保存なら、時間が変化してもエネルギーの総量は変化しない、という意味だ。だから、あるエネルギー$E$を考えて、その時間変化$\frac{\partial E}{\partial t}$が$0$とすれば、エネルギー保存の式になる。これはまさに「微分方程式」だ！
宇宙の対称性は保存則を与え、保存則は微分方程式を与える。だから宇宙を記述する「物理」の法則は、微分方程式になるのだ。物理に携わる限り、微分方程式から逃れられない！
さて、保存則は微分方程式を一つ与えるので、系の自由度は１つ減る。世の中にはたくさんの自由度とほとんど同じだけの保存則が存在するだろう。そうでなければ、自発的に定まらない自由度が存在し、もはやいかなる実験にも再現性が期待できないだろう。あるいは、不確定性原理のように決定論的に定まらない事象が無数に存在することになるだろう。
不確定性原理は極めて限定的であり、ほとんどの自然現象には不確定性はないように見える。だから、僕たちの住むこの宇宙には保存則と自由度がうまいバランスで存在しているのだろう。いや、保存則の数だけ「自由度が顕在化」し、この宇宙の保存則＝対称性が多く存在することによって、僕たちの世界の複雑さが形作られているのかもしれない。
黄金の船が...おお おお おお！
