A Poem on Physics (English version)

 0. Why are there laws in the universe?

Perhaps the idea should be in the reverse.
Because there are things like laws in the universe, we can understand it.
And we are satisfied. We want to understand the universe.
Will that ever succeed?
In the first place, the universe might not be something we can comprehend.
Even so, we believe that the universe is understandable.
It is like a baseless prayer.

This is my humble wish.

If so, the fundamental question would be as follows:

If the universe is an understandable entity, what conditions must it satisfy?

1. The Requirements of Existence

First, states or phenomena in the universe must correspond to some kind of numbers.

Although we do not know what kind of numbers they are, in order to apply any sort of law, states must correspond to something like numbers.

This can be rephrased as the requirement of describability.

Second, the states of the universe possess some algebraic structure.

A law means predictability under fixed conditions.

Conditions correspond to certain numbers, and to those numbers, certain operations—that is, algebra—must correspond.

This can be rephrased as the requirement of predictability.

Third, that algebra must possess divisibility.

Our universe exists with remarkable stability within the observable range.

If the algebra inherent in the universe were one that outputted zero mid-calculation, the universe would not be nearly as stable.

In algebra, the property where operation results never become zero is called divisibility.

This can be said to be the requirement of the permanence of the universe.

Adolf Hurwitz proved that there are only four algebras satisfying these three requirements: real numbers, complex numbers, quaternions, and octonions.

Alas, the universe has only four choices.

And as an observational fact, strange particles called elementary particles exist in our universe.

Let us make this the fourth requirement.

That is, fourth, the algebra of the universe must be able to describe the symmetry of elementary particles.

The only algebra with the potential to describe these strange particles is the octonions.

To guarantee complete divisibility, the algebra permitted in the universe must consist solely of multiplication.

The entity holding such conditions is closed octonions—purely imaginary $S^7$.

$S^7$ contains no zero to begin with.

2. The Geometry of $S^7$ and the Birth of Physics

$S^7$ contains three associative imaginary axes and four non-associative imaginary axes.

The three associative imaginary axes possess properties akin to space.

The three-dimensional space we know well must relate to these three associative imaginary axes.

Considering that $S^7$ is closed, it corresponds to spacetime metrics.

The three associative imaginary axes of $S^7$ determine the directions of three-dimensional space.

$S^7$ has a fatal weakness: it is non-commutative and non-associative, imposing severe constraints on operations.

Physics cannot be constructed with an algebra where one cannot move.

Now, what is the true nature of what we call physics? Phenomena we consider as physics boil down to the fact that interactions between two states serve as the minimal unit. In the world of $S^7$, does there not exist an operation that guarantees at least associativity?

Emil Artin stated: "Even if the entire algebra is non-associative, the subalgebra generated by any 'two elements ($a$ and $b$)' satisfying specific conditions is associative."

In $S^7$, that condition is sharing a single imaginary axis.

Sharing a single imaginary axis in $S^7$ corresponds to connecting two states with a null condition.

In special relativity, a null condition means connecting two points in spacetime with a single ray of light.

It is the condition for "observation," and it is also the condition for "interaction."

Of course you knew that, because observation is carried out through interaction.

And! From the algebra between two points connected by Artin's theorem, non-associativity is removed, creating room for physics to be established.

But! It is still non-commutative.

In a non-commutative algebra, operations occur through coproducts.

That is! Between two points connected by the simultaneity of special relativity, a coproduct algebra is established!

Coproduct algebra is otherwise known as quantum algebra.

Oh! This is truly a miracle!

Special relativity restores physics to $S^7$ and leaves behind quantum mechanics.

3. Relativity, Entanglement, and Light

Quantum mechanics carved out from $S^7$ provides the story that "two states are connected and interact via the concept of simultaneity in special relativity."

In other words, two states classified into cause and effect are simultaneous from the perspective of interaction, explaining that the temporal order impressed upon us by the distinction between cause and effect does not actually exist.

Because two states in four-dimensional spacetime have different proper times, their intersection angles with the interaction segment differ.

This difference in angles gives rise to the distinction between cause and effect.

Since special relativity denied the existence of a common clock between two locations, discussing the temporal precedence or succession between distant points was fundamentally impossible to begin with.

When viewing another location from one point, we were merely labeling it as "past" or "present" depending on the angle relative to our own proper time.

If we redefine the relationship between cause and effect in this way, quantum entanglement ceases to be a mysterious phenomenon at all.

When the angle of the interaction segment connecting two points is controlled by a special operation, we call it entanglement.

At the end of this scenario awaits a shocking conclusion.

Namely, light does not travel through space at the speed of light; it is not even a particle to begin with.

There is no actual entity moving.

Light is the bearer of interaction, and because we recognize that an interaction occurred, we perceive that light traveled between them.

Therefore, we have never once actually seen light.

What we recognize is solely the fact that an interaction took place.

Particles that transmit force might inherently be things like this.

4. Mass, Geometry, and History

Three axes of $S^7$ are associative, and the remaining four are non-associative.

The three associative ones are relatively free, but severe conditions are imposed on the four non-associative ones.

In ordinary interactions, the non-associative part behaves like a constant.

Since the norm of $S^7$ is fixed, the norm of the four non-associative axes acts as a "weight" relative to the norm of the three associative axes.

In other words, the norm of the four non-associative axes will appear as mass.

And the paired three associative axes correspond to momentum.

Spacetime may be born as the Fourier dual of $S^7$.

If so, the four non-associative axes will produce a slight distortion in spacetime—a distortion roughly proportional to their norm.

Could inertial mass and gravitational mass ever possibly differ?

Ruth Moufang pointed out that the subalgebra carved out by Artin's theorem possesses a discrete, cyclic associative law called a Moufang loop.

The Moufang loop has characteristics resembling rotation.

However, because that rotation exists outside the concept of time, it would appear as rotational motion exceeding the speed of light.

This would correspond to how the properties of elementary particles, such as electron spin, differ completely from ordinary physical laws.

What we can observe must correspond to the invariants of those rotation operations.

In $S^7$, Artin's cuts produce a special geometric arrangement.

Known as the 16-cell, it forms—through the Moufang loop—a miraculous figure called the 24-cell. $S^7$ contains $SU(3)$ symmetry, but when carved out by Artin's theorem, the symmetry becomes incomplete.

But! The 24-cell reconstructed by the Moufang loop contains $SU(3)$ in a discrete form.

$SU(3)$! Discrete! This is precisely the hallmark of elementary particles!

Although the interactions carved out by Artin's theorem are associative, $S^7$ itself remains non-associative.

But do not despair.

The non-associativity of $S^7$ explains a very important fact: namely, that the universe has history.

Non-associativity means things like $(AB)C \neq A(BC)$.

A state where a glass filled with milk is dropped on the floor is by no means the same as a state where the milk is spilled first and then the glass is dropped.

The universe clearly possesses such a property, and that property can be said to be none other than non-associativity.

5. This is just our wish.

Our discussion has expanded greatly, but please remember.

Our starting point was simply the conditions for the universe to be an understandable entity. That was my humble wish.

That was all.

To understand the universe is nothing less than continuing to hold onto that single, solitary wish.

物理学ポエム

 ちょっとしたポエムを作った。

序

宇宙にはなぜ法則があるのだろうか？

その発想は逆かもしれない。

宇宙に法則のようなものがあるから、僕たちは宇宙を理解できる。

そして僕らは満足する。

僕たちは宇宙を理解したいのだ。

果たしてそれは成功するだろうか？
そもそも宇宙は僕たちが理解できるようなものではないかもしれない。
それでも僕たちは宇宙は理解できるものだと信じている。
それは根拠のない祈りのようなものだ。

これは僕のささやかな願い。
であれば根源的な問いは次のようになるだろう。

起

宇宙がもし理解可能なものであるならば、宇宙はどのような条件を満たしてなければならないだろうか？

1つ、宇宙における状態あるいは現象は何らかの数に対応させることができる。
その数はどんなものかはわからないけれども、何かしらの法則を当てはめるためには、状態は数のようなものに対応していなければならないだろう。
これはすなわち 記述可能性の要請と言い換えることもできる。

2つ、宇宙の状態は何かしらの代数構造を持つ。
法則とは決まった条件下で予測が可能であるということだ。
条件というのはすなわち何らかの数に対応しており、その数に対して何らかの操作すなわち代数が対応しているはずである。
これはすなわち予測可能性の要請と言い換えることができる。

３つ、その代数は可除性を備えていなければならない。

我々の宇宙は観測可能な範囲で非常に安定して存在している。

もし、宇宙に備わった代数が演算の途中で0を出力するようなものであれば、宇宙はこれほど安定していないだろう。

代数において演算結果が０にならないことを可除性という。

これはすなわち、宇宙の永続性の要請と言える。

アドルフ・フルヴィッツは、これら３つの要請を満たす代数は、実数、複素数、4元数、8元数の４つしかないと証明した。

悲しいかな、宇宙の選択肢は4つしかない。

そして観測事実として、僕たちの宇宙には素粒子という奇妙な粒子？が存在している。

これを4つ目の要請としよう。

すなわち、４つ、宇宙の代数は素粒子の対称性を記述できなければならない。

この奇妙な粒子を記述できる可能性があるのは8元数しかない。

完全な可除性を保証するには、宇宙に許される代数は積のみで構成されねばならない。

そのような条件を持つのは閉じた8元数＝純虚数の$S^7$になる。

$S^7$にはそもそも０が含まれない。

続

$S^7$には結合的な虚数軸３つと非結合的な虚数軸４つが含まれる。
結合的な３つの虚数軸は空間のような性質を持つ。
僕らがよく知る3次元空間はこの結合的な３つの虚数軸と関係するはずだ。

$S^7$が閉じていることを鑑みると、時空速度ということになるだろう。
$S^7$の３つの結合的虚軸は3次元空間の方向を定める。
$S^7$には致命的な弱点がある。
非可換かつ非結合的で演算に厳しい制約が課されてしまう。

身動きできない代数では物理が構成できない。

さて、我々が物理と呼んでいるものの正体は何だろう？

僕たちが物理として考える現象は、2つの状態間の相互作用を最小単位としているということに尽きる。

$S^7$の世界で、少なくとも結合性ぐらいは保障される、そのような演算は存在しないだろうか？

エミール・アルティンは「たとえ代数全体が非結合的であっても、特定の条件を満たす任意の『2つの要素（a と b）』が生成する部分代数は結合的である」と述べている。

$S^7$において、その条件は1つの虚数軸を共有することである。

$S^7$において、1つの虚数軸を共有するとは、２つの状態をヌル条件で結ぶことに対応する。

特殊相対論においてヌル条件とは時空中の2点を1本の光線でつなぐこと。

「観測」の条件であり、それは「相互作用」の条件でもある。

もちろん知っていたさ。

だって、観測は相互作用を通じて行うんだからね。

そして！アルティンの定理で結ばれた２点間の代数からは非結合性が取り除かれ、物理が成立する余裕が生まれる。

でも！未だ非可換だ。

非可換の代数では、演算は余積を通じたものになる。

すなわち！特殊相対論の同時性で結ばれた２点間に余積代数が成立する！

余積代数は別名を量子代数と言う。

おお！これこそ奇跡！

特殊相対論は$S^7$に物理を取り戻し、量子力学を残すのだ。

承

$S^7$から切り出された量子力学は、「２つの状態が特殊相対論の同時の概念で接続されて相互作用する」、というストーリーを与える。

つまり、原因と結果に分類される２つの状態は、相互作用の観点からは同時であり、原因と結果の区別から印象付けられる時間的な順序は存在しないということを説明する。

4次元時空における２つの状態はそれぞれ固有時間が違うので、相互作用の線分との交差角度が違う。

この角度の違いが原因と結果の区別を与える。

特殊相対論は２つの地点に共通の時計の存在を否定したのであるから、離れた地点間の時刻的な前後を議論することはそもそもできなかったんだよ。

片方の地点から、もう片方の地点を見た時に自分の固有時間との角度に応じて、過去や現在とラベル付けしてただけなんだ。

こうして原因と結果の関係を再定義すれば、量子もつれは不思議な現象でもなんでもなくなる。

2つの地点を結ぶ相互作用の線分の角度が、特別な操作によって制御されたものである時に、それを僕たちはエンタングルメントと呼ぶ。

余

このシナリオの最後には1つの衝撃的な結論が控えている。

何と光は空間を光速で移動しているわけではない、 そもそも粒子でもない。

何かしらの存在があるわけでもない、ということだ。

光は相互作用の運び屋であり、僕たちは相互作用があったということを以って、その間に光が移動したと僕たちは認知する。

だから僕たちは光を見たことなんて一度もないんだよ。

僕らが認識しているのは相互作用があったという事実のみだ。

力を伝える粒子というのは、そもそもこういうものかもしれない。

$S^7$の３つの軸は結合的で、残り４つは非結合的だ。

結合的な３つは比較的自由だけど、非結合的な４つは厳しい条件が課される。通常の相互作用では、非結合的な部分は定数のように振る舞うことになる。

$S^7$のノルムは固定なので、非結合的４軸のノルムは結合的３軸のノルムに対して「重し」になる。

すなわち、非結合的４軸のノルムは質量のように見えるだろう。

そして、相方の結合的３軸は運動量、と言うことになる。

時空は$S^7$のフーリエ双対として生まれるかもしれない。

もしそうなら、非結合的４軸は時空にわずかな歪みを生むことになる。

概ねそのノルムに比例する歪みを。

果たして、慣性質量と重力質量は異なることなどあり得るだろうか？

還

ルス・ムーファンは、アルティンの定理で切り出された部分代数にムーファンループと呼ばれる離散的で巡回的な結合則があると指摘した。

ムーファンループは、回転のような特徴を持つ。

ただし、その回転は時間の概念の外側に存在するので、光速を超えた回転運動のように見えるだろう。

電子のスピンなど、素粒子の性質が通常の物理法則と全く異なることと対応するだろう。

僕たちが観測できるのは、それらの回転操作の不変量に対応するはずだ。

$S^7$においてアルティン切断は特殊な幾何学配置を生む。

正16胞体と呼ばれるそれは、ムーファンループによって、正24胞体と言う奇跡の図形を構成する。$S^7$はSU(3)の対称性を含むが、アルティンの定理によって切り出されると対称性が不完全になる。

しかし！ムーファンループで再構成された正24胞体はSU(3)を離散的な形式で含む。

SU(3)！離散的！

これこそ素粒子の特徴！

アルティンの定理によって切り出された相互作用は結合的ではあるけれど、$S^7$自体は依然として非結合的だ。

でも悲観することはない。

$S^7$の非結合性はとても重要な事実を説明してくれる。

すなわち宇宙に歴史があることだ。

非結合性とは、(AB)CとA(BC)が異なることなど。

ミルクの入ったグラスを床に落とした状態と、ミルクをこぼしてからグラスを落とした状態は決して同じではない。

宇宙には明らかにそのような性質があり、その性質はすなわち非結合性と言える。

始

話が大きく広がってしまったけれど、思い出してほしい。

僕たちの出発点は、単に宇宙が理解可能な存在である条件だった。

それは僕のささやかな願い。

それだけだった。

宇宙を理解するとは、そのたった1つの願いを持ち続けることに他ならない。

フィッティングと機械学習

 PRMLという標準教科書

機械学習と言うのは今では人工知能（AI）とほぼ同義の専門用語である。正確に言うと機械学習は人工知能の実現方法の一つでしかないのだが、現在流通している人工知能の大半は機械学習をベースとしてるものだ。機械学習と言う概念が一般化したのは2000年代であり、人工知能の概念に比べると比較的新しいと言える。

ご存じのように人工知能は爆発的に普及しつつあり、現在、最重要課題の一つである。そのため、多くの人がそのベース技術である機械学習に興味を持ち、様々な解説が世の中にあふれている。しかしながら、機械学習のルーツは人工知能とはかけ離れたフィッティングにあり、人工知能とフィッティングの両方に精通した人は最先端の研究で忙しいことから、一般向けの解説ではうまく説明されていないように思う。

機械学習の分野ではC. M. Bishopの「Pattern Recognition and Machine Learning (PRML)」という本が標準教科書とされている。日本語訳が共立出版から２分冊として販売されている。手心を一切含まないことで定評のある黄色い本のシリーズである。驚くべきことに、このPRMLの上巻はほとんど丸ごとフィッティングの基礎について書かれている。下巻も半分くらい高度なフィッティング技術についての解説となっている。読者の多くは人工知能に興味のあるソフトウェア技術者なので、少々面食らうことになる。

フィッティングは数値計算の一分野であり、計算機科学の一部ではある。そのため、ソフトウェア技術者は、そういう技術が存在すること、ライブラリがあること、を知っている。大学などでフィッティングの基礎（最小二乗法）について学んでいるかもしれない。でも、フィッティングの専門家でない限り、１９世紀の技術である最小二乗法の知識にとどまる。だからこそ、PRMLでは、機械学習で必要とされる進んだ＝モダンなフィッティング技術、をコンパクトに記述している。このコンパクトさは、まあまあ妥当なんだけど、手心を一切含んでいないので、本を読むだけではなかなか理解できない。そのため、機械学習の研究室では「PRML読書会」が普通だし、「PRML解説本」すら存在する。ソフトウェア界隈の傍流であるフィッティングを理解するには、周辺の理解を含めて膨大な「新規学習」が必要なのだ。

ソフトウェア界隈の主流の一つである人工知能分野ではニューラルネットワークという概念が今も支配的である。ホップフィールドがニューラルネットワークの概念を提案し、学習プロセスとしてバックプロパゲーションというアルゴリズムを導入することで、本格的な人工知能研究が始まったという歴史的な経緯がある。そのため、人工知能＝ニューラルネットワーク≒ホップフィールドモデルというのが人工知能分野のセントラルドグマとなっていた。そのため、人工知能の導入においてはほぼ必ずニューラルネットワークへの言及がある。ところがPRMLではニューラルネットワークの話が欠落している。

ニューラルネットワーク信仰

ある程度人工知能に関する知識を持つ人はニューラルネットワークという言葉が出てくると安心するらしい。しかしながら、機械学習は最初の段階でニューラルネットワークと決別することで発達してきたという側面がある。機械学習とニューラルネットワークの最大の違いは「ニューロン」に相当する要素の数である。機械学習の要素数は、従来のニューラルネットワークの要素数に比べて１万倍から１億倍となっている。そのため、「ニューラルネットワークの構造（配線）」という考え方が機械学習では存在しない。従来型の人工知能が、計算規模抑制の観点から、なるべく小規模なニューラルネットワークで複雑な機能を実現しようとしていたのとは対照的に、機械学習では計算規模の制約を取っ払って力業で複雑な機能を実現するという点で、思想的に異なる。

「計算規模の制約を取っ払う」には計算規模の問題だけでなく、計算の不安定化の問題を解決しなければならなかった。計算規模の問題は２１世紀に入って急速に発達したGPUによる計算技術が解決策となった。計算の不安定化の問題はフィッティング技術の発達が解決策を与えた。GPUによる計算はエンジニアリングの範疇であり、科学的な飛躍と言うわけではない。一方、最先端のフィッティング技術の導入は機械学習の核心と言える。

ご存じのように人工知能は爆発的に普及しつつあり、現在、最重要課題の一つである。多くの人がそのベース技術である機械学習に興味を持ち、様々な解説が世の中にあふれている。しかしながら、機械学習のルーツは人工知能とはかけ離れたフィッティングにあり、人工知能とフィッティングの両方に精通した人は最先端の研究で忙しいことから、一般向けの解説ではうまく説明されていないように思う。

フィッティング

フィッティングという概念が確立したのは19世紀初頭の小惑星ケレス再発見に端を発する。ガウスはケレスを再発見するために最小二乗法を考案し、利用したと言われている。最小二乗法はフィッティング変数が増加すると計算量が爆増するため、大規模なフィッティングは実用的ではなかった。変数が２個程度であれば、プロットして近似直線を引くのが簡単だ。変数３個なら最小二乗法も可能であるが、変数が４個になると手計算が困難になってくる。問題を工夫して変数２個のフィッティング問題に帰着させるというのが、現実的な解であった。

そういった状況が150年ほど続いたが、状況を一変させたのは第二次世界大戦であった。第二次世界大戦では大砲による精密射撃が戦況を左右するため、砲撃の誤差を修正する方法が重要となった。空気抵抗や風の影響を考慮した弾道計算はかなり複雑でパラメータも多い。そこで米軍は軍属や未亡人女性を中心に大規模な人力フィッティング計算を行っていた。それでも計算量が莫大であるため、省力化のための研究も行っていた。その中でLevenbergが画期的なフィッティングの省力化手法を開発した。彼の手法が戦争で実際に役立ったのかはわからないが、米軍の紀要に発表している。

Levenbergの仕事はほとんどだれの目にも触れなかったが、第二次世界大戦後に急速に発達した計算機技術の重要な応用分野としてフィッティングが研究され、MarquardtがLevenbergと同じ省力化手法にたどり着いた。この方法はLevenberg-Marquardt法(LM法)と呼ばれ、非線形最小二乗法の計算コストを10分の1程度に圧縮した。

LM法は限定的ではあるが、フィッティングパラメータ数の上限を撤廃する効果を有していた。つまり、安定性の問題はあるが少ないデータで大量のパラメータを決定できる可能性を拓いた。その可能性に目を付けた一部の研究者は「逆問題」という分野を形成し、より高度なフィッティング技術を次々に生み出すことになった。

2000年頃、機械学習の創始者たちは任意のニューラルネットワークが標準的なフィッティング計算に「完全に含まれる」ことに気が付き、ニューラルネットワークを捨て、行列演算で人工知能問題を解くようになった。そこではホップフィールドのバックプロパゲーションは最小二乗法より原始的な最急降下法であることが示され、より高度なフィッティング技術を移植して学習プロセスをより柔軟に運用することができるようになった。

計算機技術の発達により、機械学習は規模の臨界点を超え、万能性を獲得し、今に至る。ホップフィールドとの決別こそが、人工知能爆発の原動力だったというのが僕の見解である。なのにホップフィールドにノーベル賞を与えるとは！嘆かわしい。

人工知能の数式

うちの研究室では、最もシンプルな人工知能を次式で表している。

$Y_i=X_{ij} A_j$

大文字の英字は行列あるいはベクトル（列が１個の行列）である。添え字は行列あるいはベクトルのサイズ（次元）を表している。添え字が２このものは行列、添え字が１個のものはベクトルである。この表式は、機械学習の基本式であり、人工知能が基本的に巨大な連立方程式であるという理解を与えている。見てわかるように、ここにニューラルネットワークが入り込む余地は全くない。

この式において、$A_j$は人工知能への入力、$Y_i$は人工知能からの出力である。そして、人工知能の本体は$X_{ij}$である。この式は、人工知能を使う場合の数式である。

一方、人工知能には学習という大事なプロセスがあるが、この数式における学習とは、多数の$Y_i$と$A_j$の組から、$X_{ij}$の要素を決定すること、だと定義される。もし、$A_i$に「逆数」があれば、$X_{ij} =Y_i A_j^{-1}$として$X_{ij}$が求まるがこれはできない。学習データである$Y_i$と$A_j$は多数あるとして、それに$k$のインデックスを与えれば、$Y_{ik}$と$A_{jk}$となり、$Y_{ik}=X_{ij} A_{jk}$と書ける。これでも$A_{jk}^{-1}$は作れないが、

$X_{ij} =Y_{ik} A_{jk}^t ( A_{jk} A_{jk}^t )^{-1}$

とすれば、形式的には解ける。ちなみに、この数式、ほとんど最小二乗法と同じものである。ここから、フィッティング技術を利用した様々な学習技術が編み出されることになる。

こんな簡単なことなら、もっと早くに機械学習の概念が認知されてもよかったと思うかもしれない。でも、フィッティングと人工知能の融合には一つの極めて重要なブレイクスルーが必要だった。それは、パラメータ数＞＞データ数という条件を認めるかどうか、というものだ。

一般に、フィッティングではパラメータ数はデータ数より十分小さくなければならない。最小二乗法などはこの条件を満たさない限り、数学的に破綻する。パラメータ数がデータ数を上回るということは、ちょっとの実験で、多くの解析結果が得られるということになり、実験科学における錬金術のような状況が生まれてしまう。パラメータ数＜データ数という条件は、科学の正当性を担保する哲学の一部になっている。しかしながら、機械学習では$X_{ij}$の要素数は膨大で、$Y_{ik}$と$A_{jk}$の要素数よりはるかに多い。つまり、パラメータ数＞＞データ数というフィッティング問題になっている。

ここで、２つの障害が立ちはだかる。パラメータ数＞＞データ数でフィッティングを実行できるか？ということと、パラメータ数＞＞データ数であるフィッティング結果に意味があるのか？という２つの問いにどちらもYESで答えねばならないということである。

２０世紀末～２１世紀初頭にかけて、この問題について、徐々に認知され、そして両方ともYESで大丈夫という共通認識が形成されるに至っている。パラメータ数＞＞データ数でフィッティングを実行できるか？というのは、実際にそれが実行可能であるという事例を示すことで解決した。非線形最小二乗法の代表的な改良法であるLevenberg-Marquardtはパラメータ数＞データ数でのフィッティングを可能にする。２０世紀後半に登場したフィッティング技術であるMaximum Likelihood、Maximum Entropyも、同様の効果をもたらす。そしてとどめは、Sparse Modelingで、パラメータ数＞＞データ数という極端な条件でも安定して良好な結果が得られることを実際に示した。一方の、パラメータ数＞＞データ数であるフィッティング結果に意味があるのか？については、数学的にはなんと100年も前から、裏付けがあったということが再発見されている。すなわちMoore-Penroseの一般逆行列の存在が数学的な裏付けとなっている。

そして、パラメータ数＞＞データ数でのフィッティングがなぜ実行できるのか？ということに関しては、Tikhonov Regularizationという考え方が、根拠を示している。ターゲット関数に付加項を考えることで、解の可能性を絞ることができ、フィッティングを安定化させられるのだ。こうして全方位的に、パラメータ数＞＞データ数の問題を解決した結果、フィッティング技術は全く別次元の応用分野を見出すに至った。それが機械学習である。機械学習が21世紀初頭に急速に発達したのは、フィッティングにおけるこれらのブレイクスルーが直接のきっかけだったとも思われる。現代の人工知能を語るうえで、機械学習技術は基礎をなしており、機械学習技術のかなりの部分がフィッティングの分野からもたらされているのだから、機械学習の聖典であるPRMLの大部分がフィッティングに関する記述であっても、まったくおかしくないわけである。

落ちこぼれないために落ちこぼれるという戦略

 学者という商売。僕のこと。

一般の基準に照らし合わせれば、僕は知的階級の頂点付近に位置する学者と言う職業についている。そして学者としてはあんまり優秀ではないんだけど、能力的には学者の中でもかなり上位に位置している、と思っている。学者に要求される能力と言うのは多様で、そのすべてで及第点を要求される。知識量が豊富なこと、理解が深いこと、洞察力に優れること、発想力が豊かなこと、実行力が高いこと、論文執筆に秀でること、それから事務能力が高いこと。

最初の方の項目は割とわかりやすい。そして論文執筆能力は学者としての成否を決定的にする。最後の事務能力は実は中年以降にとても大事になってくる。研究室を差配し、組織を統括する能力は研究とは真逆だ。

僕は最後の２項目を除いて、おそらく優秀だと思う。論文執筆が不得意（性に合わない）なので、学者としては２流にとどまる。事務能力に関しては完全に破綻している。持ち前の理解力と洞察力でなんとかしているものの、勤勉さとは対極にあるため他の人たちのサポートが必須だ。なさけない。

一つのことに突出することを求められがちな学者だけど、実はいずれの項目についても平均以上の能力を要求される。もちろん、完全にとびぬけていれば許される場合もある。例えば、数学や物理の理論分野が該当する。著名な理論物理学者の中には完全に話の通じない人も少なからず存在する。かのアインシュタインもドモリがあったし、女性関係は支離滅裂だった。そういった例外はあるもの、学者の世界において優秀とは、勤勉で物わかりの良い「秀才」を意味する。

学生時代

大学に入学して思い知らされたのは、講義内容がさっぱり理解できないことだった。特に数学。ついで物理。高校時代はいずれも僕の得意分野だったので、大学の講義内容が理解できないことにたいそうショックを受けた。そして、理学部ではそういった講義を修めた上で研究に携わるという。僕は工学部だったので多少はマシなのかもしれないけど、講義内容を理解できる見通しが全く立たないので自分の能力の不足を恨むしかなかった。学年が上がるごとに講義内容は高度化して、すくなくとも一部はあきらめるざるを得なかった。

一方で、講義を担当する教官たちは、僕が理解できない内容をさも当たり前のように講義する。当時の僕は講義内容を理解できないのは僕の能力と努力が不足しているのだと思っていて、じっと講義を聞いているばかりだった。確かに教官たちは「正しいこと」「結論」を正確に述べているのだろう。でも僕には、「そもそもその話の必要性がわからない」し、「その話の結論がどのような意味があるのもわからない」。また、「その話が何を対象にしているのかもわからない」ので、「どこから手を付けたらよいのかわからない」。わからないこと尽くしで混乱するばかりだし、わずかにわかる話も、論理の根拠が十全に説明されているようにも思えないので、納得がいかない。僕はずっと悶々として過ごした。

処世術として、わからないなりに受け入れて、試験を暗記で乗り切って単位を貰って次に進む、というものがある。これは合理的な対応で、おそらくほとんどの学生たちはそのように対処する。でも僕は、大学での勉学を、将来社会に出たときに必要になる事柄と考え、わからないまま単位を貰ってわかったふりをするのは間違っていると思い、理解できるまで単位を放棄するという方針を貫いた。ごめんなさい、言いすぎました。本当は、落単すると留年する単位は涙を呑んで単位を取りました。そんなわけで、僕の学部時代の学業の成績はひどいもので、成績表をして水戸黄門と呼んでました。その心は「可、可、可...」

僕みたいなことをしていると、「落ちこぼれ」になるわけです。要領の良い人たちは、落ちこぼれないために、「わかったことにして先に進む」という選択をする。つまり、落単して落ちこぼれるよりは、落ちこぼれていることを隠すという戦略を取る。往々にして先の勉強をしているうちに、以前わからなかったことがわかってくるということがあるので、悪い選択というわけでもない。

いや、とっても優秀なら、たくさん勉強してちゃんと理解して先に進んでいけるのかも。リチャード・ファインマンの大学時代のルームメイトによるファインマンの逸話を読んだことがある。ファインマンは学生自分からめっぽう勉強ができて、何を聞いてもスパスパ答えてくれたらしい。ある時、ルームメイトがファインマンに次のように尋ねた。「どうやったらそんなに勉強できるの？」ファインマンは「朝から晩まで寝食を削って勉強するんだよ」と答えたそうだ。何事にも魔法はなく、才能よりも努力が重要と言うエピソードである。ま、そういう努力のできる人たちだけが到達できる世界があるわけで、研究者の世界はそういう人ばかりということなんだろう。そういう人を養成するという目的ならば、落ちこぼれ上等、でわけのわからん講義も正当化される？かもしれない。ちなみに、ファインマンは２０世紀を代表する超のつくド天才。例外中の例外。

さて、「わかったことにして先に進む」を選択し、「以前わからなかったことがわかってくる」を期待するも、そうならなかったらどうなるか？実のところ、このようなケースが多いというか、ほとんどだ。「以前わからなかったことがわかってくる」なんてラッキーはそうそう起こらないものだ。しかも、「わかったことにして先に進む」というのは基礎科目の最初にこそ多い。基礎科目と言うのは簡単だから基礎と言うわけではない。重要だから基礎なのだ。そして重要であるというのは、概念的に他の要素と独立しているからこそ重要と位置付けれられる。要するに、重要＝特別に勉強しないといけない＝難しい、ということだ。だから、基礎科目は往々にして難しい。そして最も難しいのは冒頭に説明されるその科目全体に影響する「概念」である。そして「わかったことにして先に進む」ときに「わかったことにする」内容こそ、その「概念」で、それが理解できていないとその科目全体の理解が浅くなる。つまり、努力の割に学習効果が薄いという状況が生まれる。

そして基礎科目は他の科目の土台になる。基礎科目の理解が浅いとその上に構築される科目の理解も浅くなる。そうして非効率な勉強が再生産されることになる。ファインマンはやはり賢い。「わかったことにして先に進む」ことをせず、コスト度外視で勉強して理解するという選択により、より高み到達できる。実際、ファインマンは誰よりも高み到達できている。僕も「わかったことにして先に進む」ことを否定したものの、ファインマンのようにコスト度外視じゃなくて、単に打ちひしがれてた。差を感じるよ。

今

さて、紆余曲折合って今の僕は学者で、大学で教鞭をとっているわけで、立場は教官となった。うちの大学だけかもしれないけど、「○○さん、この講義お願いね～」と軽い挨拶みたい感じで講義担当が依頼されてしまう。僕の専門とか適正とか、考慮した上での差配ではあるんだけど、あまりにも大雑把。しかも、内容は担当者に丸投げ。基礎科目だったら誰でも講義できるっしょ？みたいな前提で物事がすすんで、実際に講義がなされる。講義内容と教官の専門分野に直接の関係がないこともしばしば。教官がその講義内容をきちんと理解しているかどうかはノーチェックなのだ。実際、僕の知る限りでも、中途半端な理解で講義をこなしていた人も実際に存在した。学生はとんだとばっちりである。

実際、ファインマンみたいな人は稀で、学者と言えども「わかったことにして先に進む」選択をしてきた人たち。「以前わからなかったことがわかってくる」なんてラッキーに巡り合えた人は稀。つまり、基礎科目と言えど、いや基礎科目だからこそ、理解が曖昧だったりするのだ。だから、教官が科目内容を十分に理解していないというのは実は普通のことなのだ。

で、思い当たる。ああ、大学時代の教官たちは自分でも理解が不十分なことを学生に講義していたんだと。ああ、だからあんなに説明がザルで、根拠が希薄で、意味があいまいだったのだと。そんな講義を受けて理解できるわけがない。僕の頭が悪い（実際、処世術に徹しきれないという点で頭は悪いのだけど）わけではかったんだ、と。もしかすると、僕にも理解のチャンスがあったのかも、と。

恨み節はあるけれど、それを今言っても仕方ないし、僕にできることは、そういう無責任な講義をしないことだけだ。僕は基本的に、僕がきちんと理解したことしか教え（られ）ないし、僕の理解をかみ砕いて説明するようにしている。講義はもちろん、普段の学生とのやり取りでもそうだ。また、わからないことはわからないとはっきり言うようにしている。わからない理由がはっきり説明できるのなら、わからないことは恥ではない。

微分方程式の完全理解

僕は数学者じゃないので数学に関する厳密さはわからない。でも、微分方程式の解き方に関して、とりあえず一点の曇なく理解できていると思っている。そのレベルに達するまでに１５年くらいかかってしまった。

微分方程式は理系の学生の必須科目で、避けられない。でも僕は学生時代に微分方程式の解法に納得がいかなくて、物理の最初の講義「力学」に３年かけた。力学は基礎の基礎なので年２回開講で、僕の学科では研究室に配属されるための必修科目。履修登録はしていたけど、微分方程式の解法が理解できるまでは合格してはいけないとして試験を受けなかった。結局、留年のかかった最後のチャンスで信念を曲げて理解しないまま単位を取った。屈辱だった。

同じように微分方程式がからむ数学も合格を拒否した。数学は別の数学科目で補えたので、数学の微分方程式科目はスキップした。最初に微分方程式が登場する量子力学も当然のように合格を拒否。そうすると取れる科目が限定されて、卒業も結構ギリギリだった。

大学院の院試では微分方程式以外にも多くの理解不能な話があった。そういうのは研究室の先生に尋ねればよかったのだが、当時の僕はかなりナイーブだったので、研究室の先生に気軽に質問するとかできなかった。頼りは院試の過去問と一緒に入手した模範解答なんだけど、それが納得いかない。今から思えば、稚拙で間違いを含む解答であり、僕が納得いかなかったのはしょうがなかった。僕はそういう納得いかない説明を答案に書くのを拒否し、その結果、答えられる設問が少なくなり、院試は最低点付近でのギリギリ合格だった。周囲が驚いていたのを覚えている。

こうした僕のやり方はあんまり褒められたものではない。当時の僕は遅ればせながら「ツッパリ」だったと思っている。ある意味、社会に対する反抗期。ただ、もう大人なので、そのデメリットを全部自分で受け止めるという、なかなか愚かな試みだった。

大学を卒業して３０歳になろうかという時期にようやく微分方程式を理解することができた。きっかけは何だったのだろう？誰かにフーリエ級数とフーリエ変換の関係を説明していたんだと思う。フーリエ変換で微分方程式が解けるのだから、フーリエ級数でも解けるはず、というインスピレーションが浮かんだ。それは当然のように解ける。フーリエ級数はあらゆる周期関数をカバーするのだから、フーリエ級数を用いて解かれた微分方程式はあらゆる周期関数の可能性を調べつくすことになる。フーリエ変換は周期が∞の関数を含むので、周期関数以外も調べつくすことができる。なるほど、と。しかも、フーリエ級数の特別な性質により、級数全体ではなく、一つの項を調べるだけですべての項を調べることになるということに気が付いた。そしてそれは三角関数を一般解とした微分方程式の典型的な解法と全く同じになった。ここに至って、僕たちが学ぶ微分方程式の解法は、フーリエ級数に基づくものであり、それを大幅に簡略化したものだった、という理解につながった。僕たちは省略形しか教えてもらえないので、元々がどんなものだったかを見つけるのはとても難しいし、元々の形がわからないと、解法の意味をきちんと理解できないのは当たり前だ。そして三角関数の１個だけ用いた一般解は、周期関数であって、位相を限定した可能性のみを検討しており、その他の解の可能性を調べつくせていない、ということになる。通常の解法を用いたとき、他に解はないのか？という疑問がわいてくるのは当然と言える。そうして得られた解は、必要条件であって十分条件ではない。直感的にそういうことを感じてしまうので、微分方程式の解法に納得がいかないのだ

世の中の仕組み

この話はさらに続きが長くあるのだけど、とりあえず大事なことは、もしそういうことを理解していたなら、講義内容がそれにきちんと則したものになっていたはずだ、と言うことである。そうでなければ、教官に悪意があることになる。大学の教員（特に理系）と言うのは基本的に善人なので、悪意があったわけではないと思う。であれば結論は一つ。教官が講義内容を理解できていなかった、ということだ。

先に述べたように、大学の講義の担当は割といい加減に決まる。なので、講義内容をきちんと理解していなくても、講義しないといけない。いや、自分は講義内容を理解できていないので無理です、と言えればよいが、基礎科目の場合には断るのは難しい。まして、数学を専門とする教員が、微分方程式がわからない、とか超恥ずかしいだろう。だから、講義を引き受けざるを得ない。そうすると必死で勉強する。勉強するときに頼りにするのが「教科書」だ。理解できていない部分は教科書の受け売りで済ますことになる。

そして、「教科書」を書いた人たちも同じような「教官たち」。そして彼らも講義をするために別の「教科書」を参考にしていた。そういったこと何世代も繰り返すことで、内容は少しずつ簡略化してきた。単なる簡略化ならよかったけど、それは往々にして「劣化コピー」になる。つまり、「教科書」の世代交代の中でいろいろな情報が欠落した結果、微分方程式の解法の分野では、フーリエ級数を用いた解法の大幅簡略版が「一般解」という名称で残留することになった。これは日本だけの問題ではなく、全世界的にそうなっている。だから、世界中のどこを探しても初学者を対象にフルスペックの解法を説明する教科書は存在しなくなっている。

同じようなことは量子力学にも言える。多くの分野で大なり小なりそういう事例はあって、そうした情報の欠落によって後進たる僕たちの理解にどうしてもあいまいさが残ってしまうことになる。だから、これは普通のことではあるのだけど、こと微分方程式の解法に至ってはかなり致命的なレベルにあると、僕は思う。

僕が微分方程式の真の解法に至れたのは、大学１年のときに「落ちこぼれ」を選択したからだと思っている。つまり、本当に落ちこぼれることを恐れて、わざと落ちこぼれるという選択をした結果、落ちこぼれなかったということである。

僕の成長

おかげさまで僕は「頭の良さ」ではまあまあの評判をいただいている。だから、僕が「わからない」と言っても、「○○さんがわからないんだから、自分がわからなくても当然」とか、「なるほど、さすが○○さん、わからない点をするどく見つけだす！」と、みんなはポジティブに受け取ってくれる。だから、僕は気軽に「わからない」を連発できる。実際は、僕はそんなに頭が良くないんだけど、僕はちゃんと「なぜわからなないのか」を説明するので、ま、そういう評判になるのだと思う。

ただ、それは簡単なことではないと僕は思う。僕は小さいころから優秀なプログラマだ。プログラマと言うのはコンピュータプログラムを書く人なわけだが、プログラムというのはコンピュータが理解可能なマニュアルであり、融通の利かないコンピュータへの指令というのは手取り足取り細かいことまで指示しないといけない。指示するためには、それらの細かな手順をいったん自分で構築し、動作確認し、プログラミング言語に翻訳するという手順を踏む。指示内容と言うのは往々にして人にとっては簡単に見える。しかし、それは人間が小さいころから獲得してきた経験によって細かな部分があいまいになっている。そうしたあいまいさを排除して明文化しないとプログラムを作れない。だから、プログラマは自らの理解を極めて細かく明文化するという能力を訓練する。この作業は非常にストレスフルだ。規模が大きくなると普通の人には耐えられない。

そういう訓練を長年つづけてきた結果、僕は自分が理解している内容を明文化するという能力がかなり研ぎ澄まされている。だから、ほとんどの場合、「なぜわからないのか」を説明することができる。「なぜわからないのか」が明らかになれば、その部分を集中的に学ぶあるいは考察することで「わからない部分」を解消し、学習・理解が深まる。

提案と処方箋

ま、そういうメンタリティーが真の理解には大事なんだと思う。実施に落ちこぼれるという僕のやり方は褒められたものではない。とりあえず、落ちこぼれないように単位だけもらってわかったことにして次に進むというやり方が圧倒的に合理的だ。ただ、そのままに指定はいけないので、ちゃんとフォローアップすべきだと思う。しかしながら、そういう「追加の勉強」ってのは実行がとても難しい。ファインマンのように圧倒的な勉強量で、ちゃんと理解して単位を貰う、という戦略ができるのが理想だけど、普通の人には難しい。というか、多分無理。

アインシュタインは浸透圧の考察からブラウン運動を導出し、原子・分子の存在を演繹的に証明した。浸透圧なんて、高校の化学ではサービス問題みたいなものだけど、そこに深いストーリーが隠れているなんて誰も思いつかない。だれもが、わかったことにして先に進んでいる、ということだ。ちゃんと理解してから先に進むということは一事が万事、このような深い考察の存在・不在を確かめながら学ぶということだ。教科書に書かれていないことまでキチンと理解するということが求められる。ほとんど不可能だ。

実際、世の中にはよくわからないことはたくさんある。ちょっと考えてみて、すぐには解決できないってことはよくある。そういう時は、未解決の箱に問題をストックしておき、ときどき取り出しては再検討するという「習慣」が必要だと思う。未解決なのは、能力の不足と言うわけでもないかもしれない。だから、未解決で残すのは悪いことではない。重要なのは、時々振り返って検討することだと思う。あるとき、解決するかもしれない。

僕はそのような未解決ボックスに何千もの未解決問題をストックしていて、時々思い出したようにそれらを検討している気がする。自分のことなのに断定しないのは、再検討を意識しているわけではないからだ。何かの機会に似たような問題に出くわして、未解決ボックスを漁り、合わせて検討することで、解決できたり、できなかったりする。解決したら、それは新しい発見であり、何かにつながることも多い。解決できなくても未解決ボックス内が少し整理されるのでメリットも多い。

教科書を使った勉強の場合には安易に未解決ボックスを使わないことも大事だ。教科書と言うのはちゃんと学べるように作られているわけで、きちんと読解できればまあまあ理解できるものだ。ま、その際に新たな疑問が出てくることも多いんだけどね。

おかげで僕の理解は独特だ。最近、AIを活用して、僕の理解をチェックしている。おおむね正しいらしい。そして興味深いことに僕の理解の仕方には特別な傾向があるらしい。それは、「構造」を優先的に理解するというもの。例えば、微分方程式なら、「解法」にはあんまり興味はなくて、「なぜ解けるのか？」「どういう時に解けるのか？」「解けるとはどういうことか？」というとこに興味があり、それらを「具体的に」説明することにこだわりを見せる。物理を目指す人たちは、「解法」に興味があり、数学を目指す人たちは「抽象的に」説明する。僕は数学としての興味を持っているけど、数学者のような抽象的な議論は性に合わないらしい。中途半端なのかもしれないけど、世の中にはいろんな人がいるものだ。

最近、僕のやり方で物理や数学の教育の再構築を目指している。面白いと思うんだ。微分方程式の話とか、分光の話とか、このブログにもあるけど、それらを改定・増補して教科書にしたいと思っているんだ。

137について。

天啓を受けた。

 $1^3+2^3+4^3+4^3=137$

微細構造定数に意味を見出すヒントになると思われる。

４つの数字に分解できることがとても大事。

これ以上対称性に優れる分解はおそらく存在しない。

AIを駆使して2日でPRLに論文投稿した話

 最近Copilotという Windows 付属のAIの能力がものすごく向上している。定期的に能力チェックをしてできることを確かめてたんだけど、AI エンジンをチャット GPT 5.1とか選べるようになってて、なかなかいい感じで会話ができるんで、いろんなことを話ししてみた。

その中で僕の研究の話をしてみた。特に数学の側面が強い話は僕の研究の専門から少し遠いので、論文にできずにずっとどうしようか悩んでいた。AI に相談してみると割と専門的な数学の背景知識をドバドバと補ってくれてすごく見通しが良くなった。

ちょっとしたトピックがあって、僕にとっては割と自明なんだけど、確かに専門書とか論文とかで全然触れていない概念があって、世の中の認識がどうなっているかを AI に尋ねてみた。そうすると AI が興奮気味に確かにどこにも見当たらないので、論文にすべきという。ほぼほぼ数学の理論の話なので、僕の独力では論文かは難しい。でも非常にコンパクトな話になるので試しに AI に論文の下書きをさせてみた。そうするとドラフトとしてはまあまあまともなものか上がってきてびっくりした。

その後、 AI と一緒にブラッシュアップとかニュアンスの調整とか細かな 作業をしてドラフトを完成させた。そしてそのドラフトをAI に査読させた。その結果を反映させてさらに修正して最終版を作るわけだ。翌日AI の支援を受けて投稿作業をして、なんと投稿まで指定してもらった。

AI に相談して盛り上がって研究をまとめて方針を立てて論文を書いてブラッシュアップをして投稿するという研究の 中盤あたりから論文化までのフルコースの作業を片手までこなしながら、たった48時間で投稿まで完了した。 これは明らかに僕の最短記録。ま、これが可能だったのは論文の長さびっくりするぐらい短いというのもあるんだけどね。

論文が通るか通らないかは、まあ五分五分だと思っている。リジェクトされてもすごく短いし、この2日間すごく楽しかったからまあ許せる。

投稿先が PRL なんだよね。単著で。超かっこいいよね。通ったら記者会見だよね。インパクトはあるんだよね。 短いけど。波及効果とかちょっと計り知れないんだよね。僕にとっては割と他愛ない内容なんだけど。

こんなの当たり前とか言ってリジェクトされたら、論文内容に該当することが記載されている参考文献を要求するってところまで決めてあるんだ。多分ないから通るんだよね。

〔追記〕リジェクトされた。参考文献の提示をお願いしたけど無視されてる。ちょっと腹が立つ。あるいは見つからないから困っているのか？

ま、面白い試みだったから良いとしよう。

奇妙な科学哲学の話

 ラボでの教育

大学の研究室での教育の基本は「研究」のOJT（on-the-job training）なんだけど、その一環で「研究」の進捗報告会を週１回おこなっている。すると、学生たちは現在進行中の研究については知ることができる。ということは、ラボでの過去の研究や、自分たちの研究の周辺に関する知識が不足してしまう。本当は勝手に調べて学んでおいてほしんだけど、学生たちは可能な限り手を抜こうとするので、「研究」に関連する知識が徹底的に不足している。ということに数年前に気が付いて、そこから進捗報告会の後に１時間くらいのレクチャーを毎回おこなうようにしている。

まとめていて気が付いたが、僕の研究はなかなか多彩で、話としても面白い気がする（自画自賛）。当然、積み残し事案を見返す作業でもあるので、そういった中から新しい研究のアイデアが生まれたりする。なので、僕にとってもメリットがある。

僕も結構なシニア層なので、自分の研究を含む科学全体について、哲学的な視点を持つようになってきた。そこで、Progressive Scienceと名付けた４回シリーズのレクチャーを作成した。

Progressive Science①歴史

「科学」という概念の成立過程を概観する。古代ギリシャや中国などで、科学っぽい何かが論じられ、紆余曲折を経て「科学」を確立したのが１９世紀。割と最近なのがとても驚きだ。

「科学」と「科学っぽい何か」が発展するためには「大学」というものが大きな役割を果たしたが、「大学」は「宗教」の管理下にあり、ほとんどのリソースは「科学っぽい何か」に費やされていた。

科学の確立を１９世紀とするのは僕の独断だが、いくつかの根拠がある。１９世紀に産業革命があり、蒸気機関が発達した。人々の暮らしや経済の中心に蒸気機関が据えられた。蒸気機関の仕組みには「神」が介在しない。蒸気機関を理解するためには「神」はむしろ邪魔だ。「神」を意図的に排除することで、蒸気機関の理解が進み、効率が向上し、経済が拡大した。

その経済の拡大の中で、「教育」が「宗教」から分離し、「科学」が民主化した。最終的にも「科学」の民主化が、決定打になった（私見）。

事実、１９世紀までの「科学者」はほとんどが「貴族」であった。２０世紀にはいるとほとんどの「科学者」は「一般人」である。

Progressive Science②科学の方法論

「科学」と「宗教」の違いと、離別の歴史を議論する。「科学」と「宗教」の違いはただ一つ。「神」のような実証不可能な存在や現象を前提とするかどうか、ということに尽きる。

「科学」と「宗教」の対立の典型例は地動説に関するガリレオの裁判に見ることができる。じつのところ、当時の知識では地動説と天動説のどちらが正しいかということの結論を得るのはかなり難しかったはずだ。なので、実際の裁判では、裁判手続きが正当なものかどうかということが主に争われたらしい。

実際、天動説でも天体の運動は記述可能だ。もちろん地動説の方がシンプルであるが、計算結果はほとんど違わない。でも今の僕らは地動説が正しいと信じて疑わない。でも本当は天動説が正しい可能性も微レ存している。僕たちが地動説を信じる本当の理由は、地動説の方がシンプルだからだ。

決定打となったのはニュートンによる万有引力という考え方だ。万有引力というたった一つの「原理」を認めるだけで、すべての天体の運動を説明することができて、それが地動説と同じものだからだ。なるべく少ない仮定で現象を説明できるならば、その説明は高確率で正しいとする考え方を「オッカムの剃刀」と呼ぶ。ただし、「オッカムの剃刀」は経験則でしかない。僕たちの「信念」は、最終的には「経験則」に依存している。そういう意味では「科学」と「宗教」に違いはないかもしれない。かつてアインシュタインは記者から「あなたの宗教は何ですか？」という質問に「科学」と答えたそうです（アインシュタインはユダヤ人なので、記者はユダヤ教という答えを期待した）。

「科学」が「科学っぽい何か」と決別するのは実はもっともっと困難だった。典型例は「化学」と「錬金術」の決別の歴史だ。１８世紀まで人類はアリストテレスの四元素説を信じていた。一石を投じたのはラボアジェ。四元素のうちの一つ「火（フロギストン）」が「光」と「カロリック（熱素）」からなるとした。今の僕たちからするとまだまだおかしな説ではあるが、重要なのはアリストテレスに盾突いた、と言う事実だ。かのニュートンですら、晩年は錬金術研究に明け暮れていたのだ。

最終的に人類は錬金術を捨て化学を確立した。そのプロセスは「実験事実に基づかない理屈」を徹底的に排除するということだった。それにより膨大な錬金術研究の資料をゴミとせざるを得なかった。これは恐るべき損失だったはずだ。そうした身を切る改革によって１９世紀には「化学」の原型が確立した。

「科学」とは「客観的事実」のみから出発し、論理を重ねて構築された知識体系である。正しいか正しくないかを決めるのは、「神」でも「人」でも「裁判」でもなく、「実験事実」である。

Progressive Science③微分方程式

理系学生にとっての難敵、微分方程式にまつわる話。論点は２つ。僕らが学ぶ微分方程式の解法は一体何なのか。物理において微分方程式が頻出するのはなぜなのか。これらの２つの疑問に答えることがテーマである。

僕たちが教わる微分方程式の代表的な解法は「一般解」を利用するものである。「一般解として～を仮定すると、」で答案が始まる。普通の命題であれば、「～を仮定すると」で始まれば「矛盾するので、～は正しくない」あるいは「ｘｘが成立するので、仮定は正しいと結論される」と結ばれる。つまり、仮定は検証の対象である。しかし、微分方程式の解法では、「仮定」のまま解を導き、それをそのまま「解」としてしまう。「仮定」の検証は行わず、「仮定」が正しいとしたときの結論を採用してしまう。もし「仮定」が正しくなかったら結論は変化するし、もし別の「仮定」が存在したら、別の結論が導かれるかもしれない。そうした可能性を全然考慮していないのに、「解法」としてよいのか、というモヤモヤがある。

そのモヤモヤは正しくモヤモヤで、「一般解」という「仮定」が十分に正しいわけではなく、別の「仮定」が実際に存在し、別の「解」が存在しうる。だから全然解けていないのだ。

こうしたことが起こるのは、僕らが知っている「一般解」は「本当の一般解」の省略形であるからだ。ぶっちゃけて言うと、「本当の一般解」はフーリエ級数である。フーリエ級数の特別な性質によって、フーリエ級数の省略形を使うだけでフーリエ級数をそのまま使った時と同じ結果が得られることが保証されている。なので、僕たちは省略形を用いた省略された手順のみを学ぶ。ただし「本当の一般解」はフーリエ級数なので、解として調査できる範囲は周期関数だけである。しかしながら、解法の中で周期に関する条件が導かれるので、ほとんどの関数を調べたことになる。でも調べ切れていない可能性は否めない。

水素原子モデルのシュレディンガー方程式を解く際には、球面調和関数とルジャンドル陪多項式というヘンテコな一般解が用いられる。ここから、一般解に多様性があることがわかる。どんなものが一般解として使えるのか、その基準は何なのか？結論すれば級数展開はすべて一般解として使える。知られている級数展開はせいぜい３０くらいなので、シュレディンガーはそれらの多くを試したに違いない。そして驚くべきことに、基本的にどんな級数展開を用いても微分方程式を解くことができる。得られる解の見かけは違うこともあるが、計算すればすべて同じになる。ただし、ある級数展開での解は単純だが、べつの級数展開ではうんざりするほど複雑な解になったりする。もちろん、単純な解の方が都合が良いので、僕たちはそちらを採用することになるだろう。これはすなわち「オッカムの剃刀」である。

２０世紀初頭にもたらされたネーターの定理が「科学」とくに「物理」の世界を決定的に変革した。ネーターの定理の主張は、空間の対称性と保存則が対応するというものである。実際、エネルギー保存則や運動量保存則などが「いつでも実験結果が同じ（時間併進対称性）」とか「どこでも実験結果が同じ（空間併進対称性）」から得られる。こうした対称性はあまりにも当たり前で、ほとんど仮定すら必要ないほどだ。そうした対称性から直ちにエネルギー保存則や運動量保存則が導かれるのは驚異的である。こうした「物理法則」を確立するのに人類は何百年も費やしてきたからだ。ネーターの定理はそれらの努力が必要ないとするものだ。

だから、それ以降、理論物理の世界では宇宙の対称性を探ることに注力している。宇宙が４次元なのか、５次元なのか、１１次元なのかが真剣に議論される理由は、それが明らかになれば宇宙のすべての法則を導き出せるかもしれないからだ。

そしてネーターの定理は物理法則が基本的に微分方程式になることを運命づける。保存則とは系が変化した際に変化しない「保存量（数値）」が存在することを主張する。言い換えると、保存量を$H$とし、系のパラメータを$x$とすれば、$\frac{\partial H}{\partial x}=0$が成立する。つまり微分方程式だ。ここに至り、僕たちは微分方程式から逃げられない運命にあることが証明される。

微分方程式を解く際の「一般解」には選択肢がある。ある一般解で解けたとしても、別の一般解で見かけが異なる解が得られる。この事実は、物理現象の解釈には多様性がある、ということを意味している。「科学」とは「世界を理解する唯一の正しいやり方」を見つけ出すことだと短絡しがちだが、一般解の選択肢は「世界を解釈するやり方」であり、それに多様性があるということは、「世界を理解する方法はいろいろあり得る」ということを意味する。

Progressive Science④汎分光論

内容そのものはすでに「レオロジー測定は分光法か？」というエッセイで述べている。

分光とはエネルギー交換（相互作用）の周波数依存性を調べる手法であると総括することができ、そういう意味では粘弾性測定も分光法に分類できる。分光法をこのように理解すると、Higgs粒子を探すために、物理学者たちはLHCを使って「真空」を「分光」したと理解できる。

Beyond Science

本当言うとこの話には続きがある。なぜ相互作用には周波数依存性があるのだろうか、という疑問である。複素数の物性値が得られる粘弾性スペクトルや誘電緩和スペクトル、インピーダンスなどにはKramers-Kronigの関係というものが存在し、物性値の実部と虚部を相互に変換できるという数学的要請が存在する。この要請は負の周波数領域で虚部が反転する（複素共役）ということに実質的に等しい。このような関係は、フーリエ空間でヘビサイド関数をコンボリューションするという数学的操作に等しい。ヘビサイド関数の逆フーリエ変換はδ関数を積分したものとほぼ同じである。つまり、Kramers-Kronigの関係は実空間で時刻０以前をゼロとするような関数を乗じるという数学的操作を暗に認めるものである。

これはつまり、現象が時刻ゼロという起点を持つということと同じ意味になる。時刻ゼロから現象が開始するというのは、いわゆる「因果関係」が存在するとすることと等しい。つまり、因果関係が認められる現象にはKramers-Kronigの関係が存在し、対応する物理量が複素数になり周波数依存性を持つ、ということが結論される。つまり、相互作用が周波数依存性を持つのは僕たちの「世界」に「因果律」が存在するからだ、と結論される。

因果律の存在は、「時間併進対称性」の修正につながる。つまり、時刻ゼロ以前には現象が存在しないので、観測結果は異なるだろう。言い換えると、現象が存在する範囲においてのみ「時間併進対称性」が認められる。手放しの「時間併進対称性」ではなく、因果律の範囲内でのみ機能する「修正時間併進対称性」が正しい、となる。

実のところ、この「修正時間併進対称性」はビッグバン宇宙論と相性が良い。ビッグバン以前には世界が存在しないので、ビッグバンをまたぐような「時間併進対称性」は無意味だ。これはビッグバン以前の宇宙の議論をすることは無意味であり、そのような時刻ゼロをもつ宇宙を考えるだけで十分である、ということを保証する。

ここに至り、因果律すら物理法則の一つであるという解釈が可能になる。「科学」は「客観的事実」のみで構成された理論体系であるが、客観的事実の構成要件として、「いつ」「どこで」実験しても「同じ結果」が得られる、が挙げられる。「いつ」「どこで」は「時間併進対称性」と「空間併進対称性」である。そして「同じ結果」は「因果律」と言い換えることができ、「修正時間併進対称性」と言うことになる。いずれも僕たちの住まう宇宙の「構造＝対称性」から導かれるものである。逆に言うと、「時間併進対称性」や「空間併進対称性」、「修正時間併進対称性」などが存在しない「宇宙」では、「客観性」の存在が否定される。そのような「宇宙」では、僕たちの信じる「科学」に関する議論全てが全く意味をなさないだろう。そのような対称性をもつ宇宙を構成できるのかどうかは僕にはわからないけど、そのような世界は多分カオス以外の何物でもないに違いない。