時空がS7から生み出されるとスピンや一般相対論がこぼれる説
「日々何かを増やすのではなく、日々何かを減らせ。本質的でないものを削ぎ落とせ」 (ブルース・リー「ブルース・リーの人間哲学」)
こんな話をします！
- スタート：波動関数のフーリエ変換表示
- ゴール：質量成分が時空をゆがめるメカニズム
- ポイント①：波動関数をフーリエ変換表示すると、シュレディンガー方程式が自然に見える
- ポイント②：4元数上のフーリエ変換に拡張すると、スピンが得られる
- ポイント③：8元数上のフーリエ変換に拡張すると、質量が非結合性成分のノルムになる
- ポイント④：質量はほぼ定数だが、僅かな非結合成分が波動関数をテンソル的に歪ませる
まだ時空は説明していない
物理学ポエムではちょっとぼかしてあるのですが、今回は時空の位置づけを説明しようと思います。僕たちは、宇宙を記述できる数学が存在するとしたら、ノルム１の8元数であるS7しかないと結論しています。S7は非結合性の代数で、そのままでは物理が成立しません。そこで、ミンコフスキー計量０の条件を適用すると非可換代数の部分空間が得られることをしめしました。これは、ミンコフスキー計量０で結ばれた２点の間に量子力学的なプロセスが成立する、ということを意味します。素晴らしい成果ではありますが、肝心のS7は時空速度に対応する代数であり、時空とは直接の関係を持ちません。つまり、僕たちが普通にイメージする宇宙は、全然説明できていないのです。結論から言うと、時空はS7のフーリエ双対と考えると、いろいろなことの説明がつきます。
これまでのS7の議論は実は時空の話ではありませんでした。いや、特殊相対論は時空の話じゃなかったの？って思うのも当然です。でも、よく読んでもらえれば、時空速度の議論がメインだったと分かります。そもそも時空は閉じてませんから、S7はありえないのです。
特殊相対論では、以下の等式が得られます。
$${E^2=m^2 c^4 + c^2 p^2}$$
両辺を${m^2 c^4}$で除して、以下のように変形します
$${\frac{E^2}{ m^2 c^4} - \frac{p^2}{m^2 c^2} = 1}$$
ここで${p = m v}$と思えば、${p^2 / (m^2 c^2) = (v/c)^2}$になるので、光速でスケールされた「時空速度」が1に固定されている、という意味になります。S7はこれなのです。S7は運動量エネルギー空間なのです。
${\vec{p}}$は結合的なので、S7の結合的な３つの虚数成分は${\vec{p}}$になることがわかります。そして、残りの非結合的な４成分で質量＝エネルギーを構成すると予想できます。非結合的な４成分は演算に強い制限があるので、普通の相互作用ではほぼ変化しません。つまり、定数と考えてよいことになります。それでも非結合的な４成分は複素数のベクトルになっていますから、質量やエネルギーにアサインされるスカラー値は、複素数ベクトルのノルムと考えるとよいでしょう。確かに、「時空速度１」の式では、質量・エネルギー項がノルムの形をしています。
量子力学と時空
それでも時空は説明されねばなりません。運動量エネルギーと時空を繋ぐヒントは量子力学に見つかります。量子力学では運動量と空間が微分を通じて繋がっています。
$${p \psi = -i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial x}}$$
量子力学はこの関係を認めることから始まります。でも、その根拠ははっきりと説明しません。そこで、この関係が成立する条件を考えてみます。
波動関数が空間の関数${\psi(x)}$とします。当然フーリエ変換出来て
$${\psi(x) = \int {\Psi(q) e^{iqx} dq}}$$
となる${\Psi(q)}$が存在します。フーリエ変換できないことってほとんどないので、この部分は数学的にまあまあ問題ありません。ここで、${\psi(x)}$の空間微分を考えます。
$${\frac{\partial\psi}{\partial x} = \int {iq \Psi(q) e^{iqx} dq}}$$
${\psi(x)}$がそのまま積分の前に出てくるには、${\Psi(q)}$がδ関数「的」である必要があります。逆に言えば、${\Psi(q)}$がδ関数的でないと、微分演算子の形に取り出せないので、微分演算子として取り出せるなら、δ関数的に違いない、と言えます。その場合、
$${\frac{\partial\psi(x)}{\partial x} = iq \psi(x)}$$
ここから、${i \hbar q = p}$が得られます。つまり、運動量${p}$は空間${x}$のフーリエ変換変数なのです。
同様の議論はエネルギーについても可能で、その結果、${\Psi(E, p)}$の逆フーリエ変換が波動関数${\psi (t, x)}$になることが分かります。すなわち
$${\psi (t,x) =\int{\Psi(E, p) e^{\frac{i}{\hbar}(Et+px)}dE dp}}$$
この関係は、時間と空間がエネルギーと運動量のフーリエ双対である、というものです。ポントリャーギンは平坦な空間の自然な双対はフーリエ変換であることを示しました。
双対という概念は、どちらの空間で議論しても結果は同じという、一つの実体に複数(この場合は2個)の視点を認める概念です。
波動関数を運動量エネルギーのフーリエ変換で考える流儀はマイナーですが、存在しないわけではありません。この流儀の良いところは、シュレディンガー方程式の微分オペレーターがきちんと説明できるところです。
この流儀ではもう一つ大きなメリットがあります。それは、不確定性が説明出来ることです。フーリエ変換ではδ関数のフーリエ変換は波になります。運動量とエネルギーが定まっていることは粒子性に通じますが、時空では波になります。量子の曖昧さが上手く説明できます。また、運動量とエネルギーが「点」でも、時空では波なのです。フーリエ変換の性質として${\Delta x \Delta p}$には上限ができます。フーリエ変換的な上限値は、何故か不確定性原理の倍になります。倍半分の違いはどこから来るんだろう？その答えは後ほど。
フーリエ変換は完全な写像になってるので、波動関数を時空で考えようが、運動量エネルギーで考えようが頓着しません。だから、本体が時空なのか運動量エネルギーなのかは確定しません。この時点では、物理学が時空を基礎としていても、運動量エネルギーを基礎としていても、どちらでも構わない、ということです。エネルギーと運動量が平坦なベクトル空間であれば、「時空の創発」云々の議論は、すべて無意味です。
4元数への接続とスピン
量子力学で登場する「スピン」という概念はとても奇妙なものです。コマのように回転する物体の運動に関連する、「角運動量」のようなものが量子力学にも表れます。「コマのような回転運動」と断言できないのは、量子力学のスピンとコマの運動はちょっと違うからです。スピンは、1軸回転ではありません。回転運動みたいなものにもかかわらず、コマのような回転運動ではないのです。そして、回転運動の単位＝一周、が1/2単位になっています。さらに、スピンは1/2と-1/2の2種類あるとされています。
スピンというよくわからない概念がないと、実際の現象が説明できないので、量子力学ではスピンを後付けで、波動関数の係数にスピンベクトル（あるいはスピン行列）をつけて表現します。でも、スピンの由来はよくわかっていません。
そういうのが気に入らないとして、ディラックさんは、シュレディンガー方程式を魔改造してディラック方程式を考案し、スピンを説明しました。でも、ベースに用いたのはクラインゴルドン方程式でした。つまり、
$${E^2=(mc^2)^2 +(pc)^2}$$
というエネルギーの２乗の式をシュレディンガー方程式の運動量演算子やエネルギー演算子を使って書き直しました。シュレディンガー方程式は、${E=...}$というエネルギーの１乗＝ハミルトニアン、をベースにしていますから、ちょっと違うのです。相対論的なエネルギーの式をベースにすることで、相対論と相性の悪い（とされている）量子力学に、相対論を持ち込み、スピンを説明しました。通常の量子力学は、相対論的でないにもかかわらずスピンを要求するのです。ちょっと混乱します。
スピンには奇妙な性質があって、実数・複素数の代数ではうまく表現できません。ですが、4元数を使うと、ぴったり表現できます。なので、量子力学を4元数で書き直そうとする試みは、まあまあ人気のある分野です。でもうまくいってないんですよね。なぜならば、4元数は掛け算の順序で値が変わるという非可換性を持っていて、今まで物理学で使っていた全ての数式を見直ししないといけないのです。特に波動関数の書き換えは影響が大きいので、 ほとんど進んでいません。波動関数が4元数で書き直せれば、相対論との相性も改善されるかもしれません。
さて、僕たちは運動量エネルギーのフーリエ変換で波動関数を記述できているので、これを4元数にしてみましょう。
$${q \equiv t + x i_x + y i_y + z i_z}$$
$${Q \equiv E + p_x i_x + p_y i_y + p_z i_z}$$
と定義して
$${\psi (q)= \int{ \Psi (Q) e^{\frac{i}{\hbar}qQ}dQ}}$$
と書けます。${i}$が必要かどうかは議論の余地がありますが、まあまあ破綻しません。なぜなら、4元数の基底を構成する虚数単位は、正方行列で書けます。だから、指数部は行列になります。一応、行列が指数になっても計算可能なことは、線形代数で学ぶことです。
このとき、${qQ}$は非可換なので、ちょっと取り扱いの問題が出ます。数学ではその点についていろいろ議論があって、自然な積では、先行する項を「共役」にします。すなわち、${q^* Q}$を使うとよいとされています（ちゃんとした根拠もあるのですが、ここでは割愛します）。「共役」は普通の複素数と同じで、虚部の符号を反転します。したがって、4元数の積${q^* Q}$は次のように分解できます。
$${q^*Q =E - \vec{x} \cdot\vec{p} - \vec{x} \times \vec{p} + t \vec{p} -E \vec{x}}$$
これが指数に入っているので、
$${\psi (q)= \int{ \Psi (Q) e^{\frac{i}{\hbar}(Et - p \cdot x)} e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{x} \times \vec{p}} e^{\frac{i}{\hbar}(t \vec{p} -E \vec{x})}dQ}}$$
のように分離できます。最初のeの部分${e^{\frac{i}{\hbar}(Et - p \cdot x)} }$は、4元数でない波動関数のフーリエ形式と完全に同じになっていて、この表式が自然な拡張になっていることがわかります。
${\Psi (Q) }$がδ関数的だと、${e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{x} \times \vec{p}} }$は係数になります。この係数は展開すると、双曲型のパウリ行列になります。つまり、スピンになるのです。そして、${e^{\frac{i}{\hbar}(t \vec{p} -E \vec{x})}}$は、特殊相対論的な対称性に関連します。ローレンツ対称性の埋め込みです。
また、4元数拡張のないときに指数部が不確定性に対応していたことを鑑みると、4元数拡張の指数部が小澤の不等式になっていることに気づきます。
ちなみに、4元数であっても、4元数と4元数を結びつけるフーリエ変換は、完全な写像になっているので、運動量・エネルギーと時空のどちらが本体か？という議論は無意味です。つまり、「時空の創発」云々はこの時点でも無意味な議論です。
S7への拡張
次は8元数なんですが、僕たちはずっとS7（純虚数の8元数でノルム１）を宇宙の候補としていましたから、8元数に拡張するのではなく、S7に拡張していきます。S7のうち、結合性の部分は${\vec{x}}$や${\vec{p}}$と考え、非結合性の部分のノルムを${||s_4||}$と${||S_4||}$とします。${\vec{x}}$と${\vec{p}}$のS7での共役軸を${i}$とすると、
$${s_7\equiv\vec{x}+i||s_4||}$$,
$$ {S_7\equiv\vec{p}+i ||S_4||}$$
と書けます。すると、フーリエ変換の指数部は
$${s_7^* S_7= - \vec{x} \vec{p} - (||s_4||) ( ||S_4||) - i \vec{x} ||S_4|| + i\vec{p} ||s_4||}$$
と書けます。第１項は4元数の積なので、結合的です。
ここで、普通の4次元の時の波動関数との比較から、${||s_4||}$は時間に関係していることがわかります。そして${||S_4||}$はエネルギーに関係します。4元数の時と同じように、${e^{- i \vec{x} ||S_4||}}$が係数になるわけですが、${||S_4||}$は質量に関係することがわかっていますので、${e^{-i\vec{x} m}}$の係数になります。しかしながら、実のところ${i m}$の実体は非結合性S4なので、この係数はテンソル量になり、波動関数をゆがめます。時空をゆがめる質量に関連するテンソル、つまり、一般相対論が埋め込まれるのです。
精密な検討が必要ですが、S7代数のフーリエ変換において、固いコア部分である${S_4}$は投影された時空での「関数」をゆがめるのです。それは完全に重力のフレームワークに一致しているのです。
ここで、とても興味深いことがわかってきます。僕たちは、通常時間やエネルギーは実数だと思っています。でも時間やエネルギーは${s4}$や${S4}$で非常に「硬い＝演算が不自由」定数であって、本質的に、時空とは異なる「虚数軸のノルム」だということが示唆されます。すると、フーリエ変換の指数部にあった外付けの${i}$が必要ないかもしれない、ということになります。そうすると、ハイパーボリック型だったスピン行列が、ふつうのパウリ行列に完全に一致します。本当のところはどうなのかわかりませんけどね。些細なことかもしれませんけどね。ちょっと興味深いかもしれません。
ここに至って、S7は実質７次元、時空は４次元です。S7の方が大きいので、S7の方が情報がリッチです。S7から時空は作れますが、時空からはS7を再構成できません。ここに至り、運動量・エネルギーに対応するS7が本体、時空が射影であることが結論されます。もちろん、時空にはゆがみとしてS7のフーリエ変換成分が反映されているので、僕らの目に映る時空は４次元ですが、ゆがみも入れると８次元である可能性があります。なので、時空の方が大きいと言えるかもしれませんが、物理を支配しているのはS7であり、時空は「影」と考えるのが妥当です。
時空はS7の影なので、時空での観測だけではうまく説明できない事象がみられるのです。犬の顔に見える影絵を手のひらを組み合わせて作ってるみたいな感じです。
不確定性の起源
不確定性はフーリエ変換の指数部から得られるというのは、フーリエ変換の性質です。S7でのフーリエ変換はちょっとだけ特殊です。S7は８次元の超球面だけで定義されているので、フーリエ変換は８次元超球面上で行われなければなりません。4元数以上でも同じです。その際、フーリエ変換の積分範囲？がちょっと違ってきて、不確定性が修正を受けます。それが1/2。そして、S7が半径cの球ということから、積分範囲の限定を受けます。つまり、本質的にcに関連するナイキスト周波数が存在するのです。それが、不確定性の根本原理だと推測されます。
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