級数展開
微分方程式で複数の基本解が得られたとして、それらの基本解の一次結合も解になるということは１章で述べました。ある一連の関数がその微分方程式をうまく満たす場合、その一連の関数からなる一次結合すなわち級数は、その微分方程式の解になります。その一連の関数からなる級数が完全直交性という特別な性質を満たすとき、その微分方程式を解く作業は、その級数の係数を決定する作業に帰着します。
で、数学者は千年以上もかけて、そのような一連の関数を模索してきました。我々はその恩恵を受けることで、一般解とは何者か、どのように一般解を選べばよいのか、１章で見てきたやり方ですべての解を網羅できているのか、という疑問に対する答えが得られます。
級数展開を微分方程式に応用してみる
一番なじみのある級数展開はTaylor展開でしょう。
\begin{equation}f\left(x\right)=f\left(a\right)+f\prime\left(a\right)\left(x-a\right)+f\prime\prime\left(a\right)\frac{\left(x-a\right)^2}{2!}+f\prime\prime\prime\left(a\right)\frac{\left(x-a\right)^3}{3!}+\cdots\cdots\label{taylor}\end{equation}
ですね。Maclaurin （マクローリン）展開は、$a=0$の特別な場合を言います。一連の関数としては、$\frac{\left(x-a\right)^n}{n!}$であり、その係数が$f^{(n)}\left(a\right)$になるという風にこの式を理解しましょう。ちなみに、式が出てきたとき、その式の意味をじっくり読みとるというのはとても大事な技術で、習慣にするとよいと思います。
このように、何らかの一連の関数で、与えられた関数（ここでは$f\left(x\right)$）を書きなおすことを、級数展開と呼びます。Taylor展開では、無限の次数まで集めると、近似ではなくなります。すなわち、$f\left(x\right)$を($\ref{taylor}$)式で置きかえることができます。そこで、$f\left(x\right)$の微分を考えます。
\begin{equation}\frac{d}{dx}f\left(x\right)=\frac{d}{dx}f\left(a\right)+\frac{d}{dx}f^\prime\left(a\right)\left(x-a\right)+\frac{d}{dx}f^{\prime\prime}\left(a\right)\frac{\left(x-a\right)^2}{2!}+\cdots+\frac{d}{dx}f^{\left(n\right)}\left(a\right)\frac{\left(x-a\right)^n}{n!}+\cdots \\
=0+f^\prime\left(a\right)+f^{\prime\prime}\left(a\right)\left(x-a\right)+\cdots+f^{\left(n\right)}\left(a\right)\frac{\left(x-a\right)^{n-1}}{\left(n-1\right)!}+\cdots\end{equation}
となります。ついでにｎ次微分まで考えてやります。
\begin{equation}\frac{d^m}{{dx}^m}f\left(x\right)=f^{\left(m\right)}\left(a\right)+\sum_{n=m+1}^{\infty}{f^{\left(n\right)}\left(a\right)\frac{\left(x-a\right)^{n-m}}{\left(n-m\right)!}}\end{equation}
となります。で、懐かしの例題１を考えると、
\begin{equation}\frac{d^2}{{dx}^2}f\left(x\right)=f\prime\prime\left(0\right)+\sum_{n=m+1}^{\infty}{f^{\left(n\right)}\left(0\right)\frac{x^{n-2}}{\left(n-2\right)!}}=-a^2\left\{f\left(0\right)+\sum_{n=1}^{\infty}{f^{\left(n\right)}\left(0\right)\frac{x^n}{n!}}\right\}\end{equation}
となります。係数を比較してやって、
\begin{equation}f^{\prime\prime}\left(0\right)=-a^2f\left(0\right)\\
f^{\prime\prime\prime}\left(0\right)=-a^2f\prime\left(0\right)\\
f^{(4)}\left(0\right)=-a^2f\prime\prime\left(0\right)\\
f^{(n)}\left(0\right)=-a^2f^{(n-2)}\left(0\right) \label{taylorsolution}\end{equation}
となります。全然解けていませんが、Tayler展開はあらゆる関数に適用できるので、ここまでの式変形に問題はありません。たまたま、すべてのｎについて$f^{(n)}\left(0\right)=-a^2f^{(n-2)}\left(0\right)$を満たすような関数があれば、めでたく解けたことになるでしょう。
ここでの教訓は、任意の関数は級数展開できるということと、級数展開するときに用いる関数系は与えられているので、微分などの計算が実施可能である、ということです。Taylor展開やMaclaurin展開は例題１を解くまでには至りませんでしたが、計算を進めることはできました。
級数展開できる関数系
数学公式集という本があって、難しい数式がたくさん載っているのですが、その中に特殊関数とかの章があり、いろんな級数展開が紹介されています。世の中にはたくさんの級数展開が存在するのです。前節で示したように、与えられた関数に対して、ある条件は課せられることはありますが、いつでも展開できるというのが級数展開の便利さです。そのような級数展開が複数存在するということは、一つの与えられた関数に対して、複数種類の級数展開を考えることができる、ということを意味します。どのような級数展開を使用するのかは、僕たち自身で決めることができます。
少し難しいところで、Bessel（ベッセル）関数を用いたBessel級数展開の話をしたいと思います。ここでは、Bessel関数の中身に対しては立ち入りません。直交性という性質を持ち、級数展開できる、難しいBessel関数というのがあるという紹介です。
Bessel関数は次の微分方程式の一般解として与えられます。
\begin{equation}x^2\frac{d^2}{{dx}^2}f\left(x\right)+x\frac{d}{dx}f\left(x\right)+\left(x^2-a^2\right)f\left(x\right)=0\end{equation}
全然わけわかりません。いろんな説明がありますが、工学的に重要なのは、第一種のBessel関数、いわゆるＪ関数と呼ばれるもので、次のようなものです。
\begin{equation}J_n\left(x\right)=\left(\frac{x}{n}\right)^n\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^m}{m!\mathrm{\Gamma}\left(m+n+1\right)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}\end{equation}
Γ関数が使われていますが、いわゆるビックリマークとほぼ同じ意味です。ただし、非整数の場合にも定義されています。ｎは普通は整数なのですが、半整数の場合も考えられてその場合は、球Bessel関数と呼ばれます。その話は別の機会に。
ｎはいわゆる次数です。Bessel関数の元の微分方程式を変形してやると、
\begin{equation}\frac{d^2}{{dx}^2}f\left(x\right)=-\frac{1}{x}\frac{d}{dx}f\left(x\right)-\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)f\left(x\right)\end{equation}
これは０次微分と１次微分がわかっていれば、２次微分が求まるよ、という意味の数式です。すると、１次微分と２次微分がわかりますから、次のように３次微分が得られます。
\begin{equation}\frac{d^3}{{dx}^3}f\left(x\right)=-\frac{1}{x}\frac{d^2}{{dx}^2}f\left(x\right)-\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)\frac{d}{dx}f\left(x\right)\end{equation}
同様に、次のような漸化式が得られます。
\begin{equation}\frac{d^n}{{dx}^n}f\left(x\right)=-\frac{1}{x}\frac{d^{n-1}}{{dx}^{n-1}}f\left(x\right)-\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)\frac{d^{n-2}}{{dx}^{n-2}}f\left(x\right)\end{equation}
そうやって求めたものが、$J_n\left(x\right)$というわけです。
ベッセル関数には、次のような直交性と呼ばれる性質があります。
\begin{equation}\int_{a}^{b}{J_n\left(r\right)J_m\left(r\right)rdr}=\left\{\matrix{0&if\ n\neq m\cr\frac{b^2}{2}\left\{J_n\left(b\right)\right\}^2&if\ n=m\cr}\right.\end{equation}
ただし、nとmは0以上の整数とします。$rdr$という積分素は$r$が円の半径であるような図形の積分で頻繁に現れます。これを以て、Bessel関数は円筒座標系でうまく記述できるような現象でしばしば使用されます。
こういう直交性があるということは、後述するように級数展開に使用できるよ、ということを意味します。特にBessel関数は、円筒座標や2次元の極座標において、半径方向に級数展開するときに適した関数です。ここでは説明しませんが、ｎは円周方向の分割数を表しており、これを以て、２次元空間全体を級数展開することができます。
Bessel関数に限らず、特殊関数と呼ばれているものはその根底に微分方程式があり、その微分方程式は微分に関する漸化式と見ることができます。その漸化式を解くことによって、一連の関数を定義することができます。その一連の関数には、それぞれに直交性があります。それ故、級数展開することができます。特殊関数は元々の微分方程式の一般解なので、その微分方程式が持つすべての可能性を網羅しています。なので、特殊関数の級数を考えて、その係数を一意に決定できれば、その微分方程式を解くことになります。数学者はそういう性質を持つ関数群を注意深く探してきました。ここで述べた特殊関数の性質を証明するのはプロの数学者の仕事です。数学は世の中で最も信頼のおける学問ですから、僕らは数学者の仕事を信じて前に進むことができます。
直交性の概念の拡張
一般論として、直交性という性質があれば級数展開できるのですが、ちゃんと直交性を説明していないので、よくわからないと思います。そのあたりの説明を詳しく行います。
直交というのは、「直角に交わっていること」ですので、直交性とは「直角に交わるという性質を持つこと」というのが直接の言葉の意味です。ところが、数学では意味が拡張されて使われます。すなわち、「図形的に直交しているかどうか」ではなく、直交という言葉が元々意味していた「直角に交わっている」という状態を数学で再定義し、再定義された式などに形式的に従うものをすべて直交と呼ぶ傾向にあります。この傾向は直交という言葉に関してだけでなく、他の多くの数学用語に共通します。数学を学ぶ上で障害となるのは、こうした言葉の定義が十分に説明されないことだと思います。
まず、直角に交わっているということを数学で定義しましょう。小学校レベルでは、図形に三角定規の直角部分をあてて、図形の線が沿っていれば、直角と習います。次に直角というのは線が交差していてもよいと習いました。もう少し進むと、三角定規ではなくて分度器をあてて角度を読み、９０度であれば、直角であると定義されました。中学校ぐらいから、直交という語が導入されるかもしれませんが、定義自身は変わりません。高校になると、ベクトルが導入され、ベクトルを用いて、
\begin{equation}\vec{a}\bullet\vec{b}=0\end{equation}
と、内積が０になることで、直交を定義しました。ここで初めて式として直交を記述することができたことが、とても重要です。数学にとっては厳密さが重要ですので、式のようなあからさまな形式で、簡潔に記述できると、とても重宝します。ですので、むしろ、ベクトルで定義された直交を、根本的な定義としてよいだろう、とします。
さらに掘り下げて、$\vec{a}\bullet\vec{b}=0$の式が意味するところを考えます。ベクトルというのは厳密にいうと普通の数ではありません。足し算や引き算は定義されますが、掛け算はちょっとあいまいです。その掛け算の一つとして僕たちは内積を良く用います。厳密に言うと内積は掛け算ではありません。掛け算とは、二つの数を「掛けて」一つの数が出てくる操作です。かけられる「数」と答えの「数」は同じ性質をもつものを想定しています。「食べ物」と「食べ物」を掛け合わせても、とりあえずは「食べ物」として成立する、というようなニュアンスです。数学者は「積」の計算方法は「数」の種類に応じて変化するけど、「積」とみなせる計算方法の、共通の性質を大事にしようとします。なので、かけられる「数」と答えの「数」が同じ種類の「数」でなければ、それは「積」といえないのです。また、「積」には、「和」と区別される重要な性質が必要とされますが、その話は、ここでは必要ないので、興味があったら調べてね。
そのように考えると、内積の場合は、かけられる２つの「数」がベクトルで、答えは普通の「数」です。入力と出力が異なるので、「積」とは微妙に性質的に異なるのです。なので、内積は、「積」とは区別されます。もっと言えば、「内積」は「単純な数字ではないもの」同士の演算によって、数字を１個得る、という特別な操作である、ともみなせます。だから、２つのベクトルから数を一個作り出す操作という類型に合致しているから、それを「内積」と呼ぶことにしよう、と考えます。定義→概念ではなくて、概念→定義で考えるということです。そのような主客逆転を自由に行うことこそが数学の極意だと僕は思います。その「内積」の分類を一般化して、２つの「数ではないけど、足し算と引き算が定義されているもの」から数字を一個作り出す操作を内積と考えることにするのです。
そうして一般化された内積を考えた時に、結果として得られる数が０になるとき、元々の２つの「何か」が直交していると、考えます。まとめると、２つの「数ではないけど、足し算と引き算が定義されているもの」から数字を一個作り出し、その数字が０になるとき、元々の２つは直交している、ということになります。「数ではないけど、足し算と引き算が定義されているもの」というのはかなり制約が緩いですし、内積の定義には全く触れていません。ですから、直交という概念はかなり広くなりました。こうして拡張された直交の概念を関数に適用したものが、これから説明する直交性です。
関数における直交と級数展開
バレバレの展開ですが、関数は「数ではないけど、足し算と引き算が定義されているもの」に該当します。直交とは、内積が０であることと定義されたので、まず、内積を定義しないといけません。そのために、関数とベクトルの対応関係について見ていきます。
関数というのは、$f\left(x\right)$のように書かれ、任意のxに対して値が一つ定まるものです。グラフで書くと、横軸にxを取り、縦軸に$f\left(x\right)$をとると、線が一本描かれます。線は上下に波打つものの、x軸方向には、戻ったりしません。
そのグラフを細かな棒グラフで表すことにします。とりあえずx軸方向に等間隔に刻んで、それぞれのxに対して棒を立てます。十分に細かく刻むと、関数$f\left(x\right)$をほぼ再現できます。x軸方向の刻み点を数字の列$\left\{x_i\right\}$として表します。すると棒グラフの高さは、$\left\{f\left(x_i\right)\right\}$とあらわせます。結局数字の列なので、大胆に、$\left\{f_i\right\}$とあらわすことにしましょう。刻み幅を無限に小さくとれば、数列$\left\{f_i\right\}$は関数$f\left(x\right)$に一致するでしょう。
図２－１ 連続関数$f(x)$と数列$\left\{f_i\right\}$の関係
数列$\left\{f_i\right\}$の要素数はべらぼうに多いですが、数字が並んでいるという点では次元がべらぼうに大きなベクトルと変わりありません。なので、数列$\left\{f_i\right\}$をベクトル$\left\{f_i\right\}$と読みかえることにしましょう。同じように関数$g\left(x\right)$から作ったベクトル$\left\{g_i\right\}$を持ってくると、足し算や引き算が次のように定義できます。
\begin{equation}f\left(x\right)+g\left(x\right)=\left\{f_i\right\}+\left\{g_i\right\}=\left\{f_i+g_i\right\}\end{equation}
\begin{equation}f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left\{f_i\right\}-\left\{g_i\right\}=\left\{f_i-g_i\right\}\end{equation}
ポイントは、暗黙の了解として、ｘ軸方向の刻みベクトル$\left\{x_i\right\}$を共通に用いることです。
関数$f\left(x\right)$の横軸の刻み幅を無限小にして数列$\left\{f_i\right\}$を作り、ベクトルとの類似を指摘するという考え方は、量子力学の議論の中で発明された数学です。量子力学では、関数とベクトルの本質的な類似に基づいて、行列を使ったハミルトニアンの表示とか、波動関数をブラとケットのベクトルで表すディラック形式などでの議論が展開されます。現時点では関数に対して内積を定義するだけですが、後で線形結合についても類似性を指摘します。
関数がベクトルで表示できるとすると、掛け算のようだけど数が一つ得られる演算である内積はほとんど自明なものとして定義できます。
\begin{equation}\left\{f_i\right\}\bullet\left\{g_i\right\}=\sum_{i}{f_ig_i}\end{equation}
この内積の表示を関数で考えると
\begin{equation}\left\{f_i\right\}\bullet\left\{g_i\right\}=C\int f\left(x\right)g\left(x\right)dx\end{equation}
となることがわかります。積分素$dx$は刻み幅です。ベクトル表示の値と対応させるために係数Ｃが必要になりますが、特に意味はありません。積分表示の場合、厳密には、内積とは呼びません。なので「内積のようなもの」と呼ぶことにします。
直交するとは、内積が０であること、でしたので、関数に対しても、内積のようなものが０になるとき、直交している、ということにします。すなわち、
\begin{equation}\left\{f_i\right\}\bullet\left\{g_i\right\}=C\int f\left(x\right)g\left(x\right)dx=0\end{equation}
です。今、内積のようなものが０かどうかだけが問題なので、Ｃは０以外なら何でも良い、ということです。
ここでは単純な積の積分として内積のようなものを考えましたが、積分の定義は特に決まっていません。先の例では不定積分のように書いていますが、実際には積分区間を設定しないと数字が定まりません（積分定数が残る）。また、Bessel関数のときのように$rdr$を積分素に使う場合もあります。
Sineとcosineでの検証
抽象的な議論ではピンとこないかもしれませんので、具体例で考えます。直交性を示す関数列で最も有名なものの一つは、 です。良く知られた性質ですが、自然数nとmに対して、
\begin{equation}\int_{0}^{2\pi}{\sin{nx}\sin{mx}dx}=\left\{\matrix{0&if\ n\neq m\cr\pi&if\ n=m\cr}\right.\end{equation}
となります。一応、ちゃんと計算しておきましょう。三角関数の加法定理によって、
\begin{equation}\cos{\left(nx+mx\right)}=\cos{nx}\cos{mx}-\sin{nx}\sin{mx}\end{equation}
\begin{equation}\cos{\left(nx-mx\right)}=\cos{nx}\cos{mx}+\sin{nx}\sin{mx}\end{equation}
となり、下式から上式を引くと、
\begin{equation}\cos{\left(nx-mx\right)}-\cos{\left(nx+mx\right)}=2\sin{nx}\sin{mx}\end{equation}
になります。ですので、
\begin{equation}\int_{0}^{2\pi}{\sin{nx}\sin{mx}dx}=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{2}\left\{\cos{\left(n-m\right)x}-\cos{\left(n+m\right)}x\right\}dx}\end{equation}
$\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{2}\left\{\cos{\left(n+m\right)}x\right\}dx}$は$n+m$が０でないので、積分値は０になります。$\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{2}\left\{\cos{\left(n-m\right)}x\right\}dx}$は$n-m$が０ときだけ、$\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{2}dx}$となり、積分値は$\pi$になります。
このように、系列を成す関数であって、同じ者同士以外の「内積」が０になる場合、直交関数系列と呼びます。$\sin{nx}$は最もよく知られた直交関数系列です。Bessel関数も直交定理がありますので、直交関数系列になっています。
$\sin{nx}$は少し特別で、同じように直交関数系列である$\cos{nx}$と組になって、さらに直交関数系列になっています。すなわち、
\begin{equation}\int_{0}^{2\pi}{\sin{nx}\cos{mx}dx}=0\ \ for\ all\ n\ and\ m\label{sincos}\end{equation}
\begin{equation}\int_{0}^{2\pi}{\cos{nx}\cos{mx}dx}=\left\{\matrix{0&if\ n\neq m\cr\pi&if\ n=m\cr}\right.\end{equation}
ということです。($\ref{sincos}$)式だけ特別です。
$\int_{0}^{2\pi}{\sin{nx}\cos{mx}dx}=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{2}\left\{\sin{\left(n-m\right)x}-\sin{\left(n+m\right)}x\right\}dx}$から、$n-m=0$のとき、$\sin{\left(n-m\right)x}$は０になるので、値が残りません。
話が長くなるので、証明はしませんが、昔、フーリエという人が、あらゆる周期関数がsineとcosineの系列の和で記述され得るということを示しました。フーリエ級数展開と呼ばれる考え方です。これを数式で書くと、
\begin{equation}f\left(x\right)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_n\sin{nx}+b_n\cos{nx}\right\}\label{fourieseries}\end{equation}
となります。ただし、周期を$2\pi$とします。先ほどから取り扱ってきた$\sin{nx}$と$\cos{nx}$の一次結合になっています。ある周期関数$f\left(x\right)$が与えられたとして、このように書けるというのがわかっているなら、あとは、係数を決める方法が問題になります。このとき、$\sin{nx}$と$\cos{nx}$が直交系列になっているということがとても大事になります。
ある種の直感によって、$\int_{0}^{2\pi}{f\left(x\right)\sin{nx}dx}$を計算することにしましょう。
\begin{equation}\int_{0}^{2\pi}{f\left(x\right)\sin{nx}dx}=\int_{0}^{2\pi}{\left[a_0+\sum_{m=1}^{\infty}\left\{a_m\sin{mx}+b_m\cos{mx}\right\}\right]\sin{nx}dx}\\
=\int_{0}^{2\pi}{a_0\sin{nx}dx}+\int_{0}^{2\pi}{a_1\cos{x}\sin{nx}dx}+\int_{0}^{2\pi}{a_2\cos{2x}\sin{nx}dx}+\cdots\\
+\int_{0}^{2\pi}{b_1\sin{x}\sin{nx}dx}+\int_{0}^{2\pi}{b_2\sin{2x}\sin{nx}dx}+\cdots+\int_{0}^{2\pi}{b_n\sin{nx}\sin{nx}dx}+\cdots\end{equation}
cosineとsineの積の項は全部０でした。$\int_{0}^{2\pi}{\sin{nx}\sin{mx}dx}=\left\{\matrix{0&if\ n\neq m\cr\pi&if\ n=m\cr}\right.$でしたので、$b_n$の項だけ残って、
\begin{equation}\int_{0}^{2\pi}{f\left(x\right)\sin{nx}dx}=\pi b_n\label{bn}\end{equation}
となります。ここから、$b_n$を決定したければ、$f\left(x\right)$に$\sin{nx}$を掛けて積分し、$\pi$で割ればよい、ということが分かります。$a_0$だけは特別で、
\begin{equation}a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(x\right)dx\label{a0}\end{equation}
となります。
三角波のフーリエ級数展開
あらゆる周期関数が($\ref{fourieseries}$)式のように表せるということを具体例で考えましょう。ふつうの関数では表わしにくい周期関数として三角波を考えてみます。式で書くと以下のようになります。
\begin{equation}
f\left(x\right)=\left\{\matrix{\frac{1}{\pi}x&if\ 0\le x \lt \pi \cr 2 - \frac{1}{\pi}x&if\ \pi\le x \lt 2 \pi \cr } \right.
\end{equation}
図２－２ 三角波
簡単のために１周期だけ示してあります。この式をフーリエ級数展開してみましょう。
まずは、($\ref{a0}$)式に従って、定数項を計算します。
\begin{equation}
a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(x\right)dx
=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{1}{\pi}xdx+\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{2\pi}\left(2-\frac{1}{\pi}x\right)dx \\
=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{x^2}{2\pi}\right]_0^\pi+\frac{1}{2\pi}\left[2x-\frac{x^2}{2\pi}\right]_\pi^{2\pi}\\
=\frac{\pi^2}{4\pi^2}+\frac{2\left(2\pi-\pi\right)}{2\pi}-\frac{4\pi^2-\pi^2}{4\pi^2}=\frac{1}{4}+1-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}
\end{equation}
実は、$\sin{nx}$の項の計算の方が簡単なので、先に$b_n$の項、($\ref{bn}$)式を適用します。
\begin{equation}
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f\left(x\right)\sin{nx}dx}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\pi}x\sin{nx}dx}+\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}{\left(2-\frac{1}{\pi}x\right)\sin{nx}dx}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\pi}x\sin{nx}dx}+\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}{2\sin{nx}dx}-\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}{\frac{1}{\pi}x\sin{nx}dx}
\end{equation}
ここで、難しいところだけ、先に計算してしまいましょう。部分積分のテクニックを使います。
\begin{equation}
\int{x\sin{nx}dx}=-\left[\frac{x}{n}\cos{nx}\right]+\int{\frac{1}{n}\cos{nx}dx}=\left[-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n^2}\sin{nx}\right]
\end{equation}
なので、
\begin{equation}
b_n=\frac{1}{\pi^2}\left[-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n^2}\sin{nx}\right]_0^\pi
-\frac{1}{\pi^2}\left[\frac{2}{n}\cos{nx}\right]_\pi^{2\pi}
-\frac{1}{\pi^2}\left[-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n^2}\sin{nx}\right]_\pi^{2\pi}
=-\frac{x}{n\pi^2}(\cos{n\pi}-1)+\frac{x}{n\pi^2}(1-\cos{n\pi})=0\label{tribn}
\end{equation}
($\ref{tribn}$)式では１行目に現れる$\sin{nx}$の項はすべて０、中央の項も０です。残りの項も０になります。実は、周期関数$f\left(x\right)$はｙ軸対称になるので、偶関数です。なので、奇関数であるsineとの積は奇関数となり、$b_n$は自動的に０になるのでした。
最後に$a_n$です。
\begin{equation}
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f\left(x\right)\cos{nx}dx}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\pi}x\cos{nx}dx}+\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}{\left(2-\frac{1}{\pi}x\right)\cos{nx}dx}\\
=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\pi}x\cos{nx}dx}+\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}{2\cos{nx}dx}-\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}{\frac{1}{\pi}x\cos{nx}dx}
\end{equation}
ここで、$\int{x\cos{nx}dx}$は奇関数の積分です。多分、消えるのですが、まっとうに計算します。
\begin{equation}
\int{x\cos{nx}dx}=\left[\frac{x}{n}\sin{nx}\right]-\int{\frac{1}{n}\sin{nx}dx=}\left[\frac{x}{n}\sin{nx}+\frac{1}{n^2}\cos{nx}\right]
\end{equation}
より、
\begin{equation}
a_n=\frac{1}{\pi^2}\left[\frac{x}{n}\sin{nx}+\frac{1}{n^2}\cos{nx}\right]_0^\pi-\frac{1}{\pi^2}\left[\frac{2}{n}\sin{nx}\right]_\pi^{2\pi}-\frac{1}{\pi^2}\left[\frac{x}{n}\sin{nx}+\frac{1}{n^2}\cos{nx}\right]_\pi^{2\pi}=\frac{1}{n^2\pi^2}\left(\cos{n\pi}-1\ \right)-\frac{1}{n^2\pi^2}\left(1-\cos{n\pi}\right)=\frac{2}{n^2\pi^2}\left(\cos{n\pi}-1\ \right)
\end{equation}
これではよくわからないので、具体的に計算してみましょう。
\begin{equation}
a_1=\frac{2}{1^2\pi^2}\left(\cos{1\pi}-1\ \right)=\frac{2}{\pi^2}\left(-1-1\ \right)=-\frac{4}{\pi^2}
\end{equation}
\begin{equation}
a_2=\frac{2}{2^2\pi^2}\left(\cos{2\pi}-1\ \right)=\frac{2}{\pi^2}\left(1-1\ \right)=0
\end{equation}
\begin{equation}
a_3=\frac{2}{3^2\pi^2}\left(\cos{3\pi}-1\ \right)=\frac{2}{9\pi^2}\left(-1-1\ \right)=-\frac{4}{{9\pi}^2}
\end{equation}
\begin{equation}
a_4=\frac{2}{4^2\pi^2}\left(\cos{4\pi}-1\ \right)=\frac{2}{{16\pi}^2}\left(1-1\ \right)=0
\end{equation}
すなわち、$ｎ$が偶数のとき$a_n=0$で、奇数のとき、$a_n=-\frac{4}{n^2\pi^2}$です。これをまとめると、
\begin{equation}
f\left(x\right)=\frac{1}{2}-\sum_{n=odd}^{\infty}{\frac{4}{n^2\pi^2}\cos{nx}}=\frac{1}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{4}{\left(2n-1\right)^2\pi^2}\cos{\left(2n-1\right)x}}
\end{equation}
となります。
級数展開の一般論
フーリエ級数展開において、重要だったのは関数$f\left(x\right)$がフーリエ級数で展開できるという前提条件と、級数の項である$\sin{nx}$と$\cos{nx}$が直交系列になっているということでした。「フーリエ級数展開が可能」とはフーリエ級数で$f\left(x\right)$が再現できるという確証があるということです。その確証を示すのはちょっと難しいのですが、数学者が証明しているので、信じてよいでしょう。フーリエ級数のように、あらゆる関数が級数展開で再現できるような直交関数系列のことを完全直交関数系とよびます。
$\sin{nx}$と$\cos{nx}$では自分自身との積分が１になりませんでしたので、πの係数がありましたが、最初から$\frac{1}{\sqrt\pi}\sin{nx}と\frac{1}{\sqrt\pi}\cos{nx}$ にしておけば、係数は必要ありません。そのような係数の調整を行ったものを「正規」と呼ぶこともあります。ある関数系列$\phi_n\left(x\right)$ が与えられて、正規完全直交系になっているとします。つまり、
\begin{equation}
\int{\phi_n\left(x\right)\phi_m\left(x\right)dx=\left\{\matrix{1&if\ n=m\cr 0&if\ n\neq m\cr}\right.}
\end{equation}
であって、関数 が
\begin{equation}
f\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{{C_n\phi}_n\left(x\right)}
\end{equation}
のように展開でき、そのときの係数は、
\begin{equation}
C_n=\int{f\left(x\right)\phi_n\left(x\right)dx}
\end{equation}
で与えられるということです。なぜなら、
\begin{equation}
\int{f\left(x\right)\phi_n\left(x\right)dx}=\int{\left[\sum_{m=1}^{\infty}{{C_m\phi}_m\left(x\right)}\right]\phi_n\left(x\right)dx}=\sum_{m=1}^{\infty}{C_m\int{\ \phi_m\left(x\right)\phi_n\left(x\right)dx}}\\
=C_1\int{\ \phi_1\left(x\right)\phi_n\left(x\right)dx}+C_2\int{\ \phi_2\left(x\right)\phi_n\left(x\right)dx}+\cdots+C_n\int{\ \phi_n\left(x\right)\phi_n\left(x\right)dx}+\cdots
=C_n
\end{equation}
となるからです。
内積に相当する積分の定義は、関数系によって異なりますが、一般論として、完全直交系であれば、級数展開に用いることができます。
先に紹介したBessel関数も完全直交系になっています。なので、Bessel関数を級数展開に用いることができます。Bessel関数でも触れましたが、級数展開できる関数系列には元となる微分方程式が存在します。その微分方程式は、関数系列の漸化式として用いることができるので、無限の項ができます。無限の項を用いれば、どんな関数でも級数展開することができます。
級数展開を一般解にする
完全直交系の関数列があると、「条件に合うすべての関数」を級数の形で書き表すことができます。これを微分方程式に代入し係数の条件を決めるということは、「条件に合うすべての関数」の中から微分方程式を満たすものを選び出すという作業にほかなりません。つまり、「条件に合うすべての関数」という制約はあるものの、僕たちがイメージする「微分方程式を解く作業」そのものなわけです。 最もなじみ深い級数展開であるフーリエ級数を用いて具体例を示したいと思いますが、($\ref{fourieseries}$)式のフーリエ級数は周期が$2\pi$に限定していたので、周期を$L$に拡張したいと思います。とは言うものの、簡単です。
\begin{equation}
f\left(x\right)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_n\sin{\frac{2\pi n x}{L}}+b_n\cos{\frac{2\pi n x}{L}}\label{FSL}\right\}
\end{equation}
これを懐かしの１章の例題１、$\frac{d^2}{{dx}^2}f\left(x\right)=-a^2f\left(x\right)$、に代入してみます。
\begin{equation}
\frac{d^2}{{dx}^2}f\left(x\right)=\frac{d^2}{{dx}^2}\left[a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_n\sin{\frac{2\pi n x}{L}}+b_n\cos{\frac{2\pi n x}{L}}\right\}\right]=-\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_n\left(\frac{2\pi n}{L}\right)^2\sin{\frac{2\pi n x}{L}}+b_n\left(\frac{2\pi n}{L}\right)^2\cos{\frac{2\pi n x}{L}}\right\}=-a^2\left[a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_n\sin{\frac{2\pi n x}{L}}+b_n\cos{\frac{2\pi n x}{L}}\right\}\right]
\end{equation}
係数を比べると、
\begin{equation}
\left(\frac{2\pi n}{L}\right)^2=a^2
\label{2-46}
\end{equation}
であることがわかります。係数が消えて、周期に関する条件になりました。また、($\ref{2-46}$)式に$n$が含まれていることから単に周期に関する条件ではなくて、特定の項だけが選択されることになります。つまり、周期の選び方にかかわらず、級数ではなくて、$\frac{2\pi n}{L}=\pm a$を満たす項だけが解である、ということです。こんなことになるのは、sineやcosineの特別な性質です。本来ならば、(\ref{taylorsolution})式のように条件が延々と続くのですが、sineやcosineは微分を行っても項の基本的な形が変化しないので、級数の項が簡単に整理できるのです。
級数の項が整理できるかどうかは保証されませんが、このようなテクニックはすべての級数で使えます。そして、我々が良く知る$C\sin{\omega x}$や$C\cos{\omega x}$といった一般解は、($\ref{FSL}$)式で行った計算法の省略版なのです。
sineやcosineは微分しても級数の次数が変化しないという特別な性質があります。なので、級数のすべての項を考える必要はなく、一般化した$C\sin{\omega x}$や$C\cos{\omega x}$という項を調べるだけで充分だというのです。つまり、どうせ$\frac{2\pi n}{L}$の条件を見つける作業になるのだから、$\frac{2\pi n}{L}=\omega$と置いてやれば、全部の項を調べたことと同じだということです。
もちろんこれはフーリエ級数の特徴であり、フーリエ級数に関係のない関数を使った場合にはうまくいきません。例えば、$C\tan{\omega x}$とか$ C\log{\tau x}$なんて関数は一般解として使えないということがこれで説明できます。
僕たちが知っている微分方程式の解法はフーリエ級数を一般解に用いた場合の省略形だったということがこれでわかりました。フーリエ級数を一般解に用いると、すべての周期関数について網羅的に調べることができます。逆に、周期関数以外の場合に「もれ」がある可能性を否定できません。しかしながら、周期が不定なので、実質的にほとんどの関数をカバーでき、実質上問題になることはありません。
エルミート多項式による解法
さて、フーリエ級数以外を用いて微分方程式を解いてみましょう。ほとんどの級数の微分は複雑で扱いが大変なのですが、比較的簡単なものにエルミート多項式があります。
エルミート多項式は、次式の微分方程式の解として与えられます。
\begin{equation}
\left(\frac{d^2}{{dx}^2}-2x\frac{d}{dx}+2n\right)H_n\left(x\right)=0
\end{equation}
ちょと複雑ですが、次式のように表されます。
\begin{equation}
H_n\left(x\right) =n!\sum_{m=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor}\frac{\left(-1\right)^m\left(2x\right)^{n-2m}}{m!\left(n-2m\right)!}
\end{equation}
ただし、
\begin{equation}
\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor=\left\{\matrix{\frac{n}{2}&n:even\cr\frac{n-1}{2}&n:odd\cr}\right.
\end{equation}
エルミート多項式にはいくつかの公式があるのですが、とっても便利なのが、次式です。
\begin{equation}
\frac{d}{dx}H_n\left(x\right)=2nH_{n-1}\left(x\right)
\end{equation}
これを使って例題１を変形していきます。
\begin{equation}
\frac{d^2}{{dx}^2}\sum_{n}{C_nH_n\left(x\right)}
=\sum_{n}{C_n\frac{d}{dx}2nH_{n-1}\left(x\right)}\\
=\sum_{n}{4n(n-1)C_nH_{n-2}\left(x\right)}
=-a^2\sum_{n}{C_nH_n\left(x\right)}
\end{equation}
これを$H_{n-2}\left(x\right)$で整理すると、次式を得ます。
\begin{equation}
4n(n-1)C_nH_{n-2}\left(x\right)=-a^2C_{n-2}H_{n-2}\left(x\right)
\end{equation}
あるいは、$H_n\left(x\right)$の係数を取り出して
\begin{equation}
4n(n+1)C_{n+2}=-a^2C_n\left(x\right)
\end{equation}
この式は漸化式になっているので、境界条件に応じた係数$C_n$を低次から順に決めることができます。少し複雑になっていて、漸化式を永遠に追跡しないといけないですが、どうにかこうにか微分方程式を解くことができます。フーリエ級数を用いた場合に比べて手間も労力もかかりますが、解けることは解けます。エルミート多項式を用いる場合は、まだまだ楽な方です。別の級数を用いると、係数が発散して、見通しがとても悪くなります。でも原理的にはあらゆる級数で同じ方法を用いて微分方程式を解くことができます。
一般にはこうした方法を使わないわけですが、それには理由があります。それは苦労して得た式は、楽な方法で得た式と実質的に同じであることが理由です。
級数関数と微分方程式
エルミート多項式を用いた解法で重要な役割を果たしたのは、元になる微分方程式があることです。元になった微分方程式と解きたい微分方程式の形が似ている場合は、チャンスです。その級数展開が利用できる可能性が高くなります。そして、それこそが数学者が千年をかけて微分方程式を研究してきた理由といえます。一般に、常微分方程式の完全な解は級数展開の形で与えられ、完全直交系になります。そして、級数展開はそれぞれの項が１次独立で、級数展開はそれらが線形結合したものです。それぞれの項の係数は、独立に決められるので、各項を次元に見立てることができます。この性質を持って、微分方程式の解となる級数展開のことを、「微分方程式が張る空間」と呼びます。級数展開にいろんな条件がある場合があります。フーリエ級数展開では、周期関数という条件があります。ベッセル関数展開では、系が極座標表示しやすいことが緩い条件といえます。
どのような級数を選ぶかは全く任意です。一つの関数に対して、複数の級数展開を考えることができます。級数展開の選択は、その背後にある微分方程式の選択に通じます。ある級数で展開した時に、高次項が消えるようなことがあります。俗に、「うまく展開できる」とか言ったりします。ということは、その関数は元の微分方程式と何らかの関係を持っている、と考えることができます。逆に、元の微分方程式と関係がある状態のすべてを級数展開が表しているとも言えます。
級数展開を微分方程式に応用する場合、うまく項の数が制限できれば成功、と考えることができます。項の数が整理できずに延々と計算しなければならない場合は、別の級数展開を探した方が良いかもしれません。
微分方程式を解くためにどのような級数展開を選択するかには任意性があります。どの級数展開を選択したとしても、得られる解は実質的に同じです。しかしながら、単純な式になれば見通しがずっとよくなります。見通しの良い解があると、その微分方程式の性質を深く理解できるようになります。
僕たちの実益という点ではこれで十分ですが、（疑問２：一般解以外の解は存在しないのか？）については、 イエス・ノー半々という、中途半端な結論になります。つまり、級数展開の選択によって、解の見た目が変わりうるということです。これは実は哲学に通じる事象です。自然科学は自然の真理の探究が目的ですが、複数の解を許すということは複数の真理を認めるということです。数学ではそれでよいかもしれません。でも、物理や化学や生物という分野ではそれは受け入れがたいことです。しかしながら、多くの自然現象が微分方程式で記述できる以上、我々は複数の解＝解釈に出くわすことになります。逆言えば、自然の真理を読み解くというのは、より単純な級数展開（理解）を探索する行為なのです。
さて、周期関数は網羅的に探索されることは理解できますが、非周期関数は探索できていない気がします。もちろんその通り！それを説明するためには、フーリエ級数ではなくてフーリエ変換を理解しないといけません。
